Lý thuyết phương trình lượng giác cơ bản

1. Phương trình lượng giác cơ bản

a) Phương trình $\sin x = a$

+) Nếu $\left| a \right| > 1$ thì phương trình vô nghiệm.

+) Nếu $\left| a \right| \le 1$ thì phương trình $\sin x = a$ có các nghiệm $x = \arcsin a + k2\pi$ và$x = \pi  - \arcsin a + k2\pi$

Đặc biệt:

+) $\sin f(x) = \sin \alpha$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) = \alpha  + k2\pi \\f(x) = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

+) $\sin f(x) = \sin {\beta ^0}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) = \beta ^0 + k{360^0}\\f(x) = {180^0} - \beta  ^0+ k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

b) Phương trình $\cos x = a$

+) Nếu $\left| a \right| > 1$ thì phương trình vô nghiệm.

+) Nếu $\left| a \right| \le 1$ thì phương trình $\cos x = a$ có các nghiệm $x = \arccos a + k2\pi$ và  $x =  - \arccos a + k2\pi$

Đặc biệt:

+) $\cos f(x) = \cos \alpha$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) = \alpha  + k2\pi \\f(x) =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

+) $\cos f(x) = \cos {\beta ^0}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) = \beta ^0 + k{360^0}\\f(x) =  - \beta ^0 + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

c) Phương trình $\tan x = a$

Phương trình luôn có nghiệm $x = \arctan a + k\pi$.

Đặc biệt:

+) $\tan x = \tan \alpha$ $\Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

+) $\tan x = \tan {\beta ^0}$ $\Leftrightarrow x = {\beta ^0} + k{180^0}$

d) Phương trình $\cot x = a$

Phương trình luôn có nghiệm $x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} a + k\pi$.

Đặc biệt:

+) $\cot x = \cot \alpha$ $\Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

+) $\cot x = \cot {\beta ^0}$ $\Leftrightarrow x = {\beta ^0} + k{180^0},k \in Z$

e) Các trường hợp đặc biệt

* Phương trình $\sin x = a$

$+ \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ;$ 

$+ \sin x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;$

$+ \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ;$  

* Phương trình $\cos x = a$

$+ \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi$

$+ \cos x =  - 1 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi$

$+ \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi$

2. Một số chú ý khi giải phương trình.

- Khi giải phương trình lượng giác có chứa $\tan ,\cot$, chứa ẩn ở mẫu, căn bậc chẵn,…thì cần đặt điều kiện cho ẩn.

- Khi giải xong phương trình thì cần chú ý thử lại đáp án, kiểm tra điều kiện.

Loigiaihay.com