Lý thuyết phương trình đường Elip

1. Định nghĩa đường elip

Định nghĩa : Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định $F_1$ và $F_2$

Elip là tập hợp các điểm $M$ sao cho tổng $F_1M +F_2M = 2a$ không đổi

Các điểm $F_1$ và $F_2$  gọi là tiêu điểm của elip

Khoảng cách $F_1F_2= 2c$ gọi là tiêu cự của elip

2. Phương trình chính tắc của elip

Cho elip có tiêu điểm $F_1$ và $F_2$  chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $F_1(-c ; 0)$ và $F_2(c ; 0)$. Khi đó người ta chứng minh được

$M(x ; y) \in$ elip  $\Rightarrow\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (1)

trong đó:   $b^2= a^2– c^2$

Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip

3. Hình dạng của elip

Xét elip $(E)$ có phương trình (1):

a) Nếu điểm $M(x; y)$ thuộc $(E)$ thì các điểm $M_1(-x ; y), M_2(x ;- y)$ và $M_3(-x ; -y)$ cũng thuộc $(E)$.

Vậy $(E)$ có các trục đối xứng là $Ox, Oy$ và có tâm đối xứng là gốc $O$.

b) Thay $y = 0$  vào (1) ta có $x = ±a$ suy ra $(E)$ cắt $Ox$ tại hai điểm $A_1(-a ; 0), A_2(a ;0)$.

Tương tự thay $x = 0$ vào (1) ta được $y =  ±b$, vậy $(E)$ cắt $Oy$ tại hai điểm $B_1(0 ; -b), B_2(0 ;b)$.

Các điểm $A_1, A_2, B_1, B_2$ gọi là các đỉnh của elip.

Đoạn thẳng $A_1A_2$ gọi là trục lớn, đoạn thẳng $B_1B_2$  gọi là trục nhỏ của elip.

Loigiaihay.com