Lý thuyết nhị thức Niu - Tơn

I. Công thức nhị thức Niu - Tơn

1. Công thức nhị thức Niu - Tơn

Với $a, b$ là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên $n ≥ 1$, ta có:

${(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... +$

$C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}(1)$

Ví dụ:

Viết khai triển ${\left( {a + b} \right)^5}$.

Hướng dẫn:

Ta có:

${\left( {a + b} \right)^5}$

$= C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}b + C_5^2{a^3}{b^2}$ $+ C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4a{b^4} + C_5^5{b^5}$

$= {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2}$ $+ 10{a^2}{b^3} + 5a{b^5} + {b^5}$

2. Quy ước

Với $a$ là số thực khác $0$ và $n$ là số tự nhiên khác $0$, ta quy ước:

                $a^0 = 1$; $a^{-n}= {1 \over {{a^n}}}$.

3. Chú ý

Với các điều kiện và quy ước ở trên, đồng thời thêm điều kiện $a$ và $b$ đều khác $0$, có thể viết công thức (1) ở dạng sau đây:

${\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k} = \sum\limits_{k = 0}^n {{a^k}{b^{n - k}}} }$

Công thức này không xuất hiện trong SGK nên khi trình bày bài toán các em lưu ý không dùng. Chỉ dùng khi làm trắc nghiệm để các bước tính toán được ngắn gọn và nhanh ra đáp án.

II. Tam giác Pa-xcan

1. Tam giác Pa-xcan là tam giác số ghi trong bảng 

2. Cấu tạo của tam giác Pa-xcan

- Các số ở đầu và cuối hàng đều bằng $1$.

- Xét hai số ở cột $k$ và cột $k + 1$, đồng thời cùng thuộc dòng $n$, ($k ≥ 0; n ≥1$), ta có: tổng của hai số này bằng số đứng ở giao của cột $k + 1$ và dòng $n + 1$.

3. Tính chất của tam giác Pa-xcan

Từ cấu tạo của tam giác Pa-xcan, có thể chứng minh được rằng:

a) Giao của dòng $n$ và cột $k$ là $C_n^k$

b) Các số của tam giác Pa-xcan thỏa mãn công thức Pa-xcan:

$C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$

c) Các số ở dòng $n$ là các hệ số trong khai triển của nhị thức ${(a + b)}^n$ (theo công thức nhị thức Niu - Tơn), với $a, b$ là hai số thực tùy ý.

Chẳng hạn, các số ở dòng $4$ là các hệ số trong khai triển của $(a + b)^4$ (theo công thức nhị thức Niu - Tơn) dưới đây:

${\left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)^4}$$= {\rm{ }}{a^4} + {\rm{ }}4{a^3}b{\rm{ }} + {\rm{ }}6{a^2}{b^{2}} + {\rm{ }}4a{b^3}{\rm{ }} + {\rm{ }}{b^4}$

Loigiaihay.com