Lý thuyết hàm số

1. Định nghĩa

Cho $D  \subset  R,  D ≠ \phi$. Một hàm số xác định trên $D$ là một quy tắc $f$ cho tương ứng mỗi số $x ∈ D$ với một và duy nhất chỉ một số $y ∈ R$. Ta kí hiệu:

$\begin{array}{l}f:D \to \mathbb{R}\\\,\,\,\,\,\,\,\,x \mapsto y = f\left( x \right)\end{array}$

Tập hợp $D$ được gọi là tập xác định (hay miền xác định), $x$ được gọi là biến số, $y_0= f(x_0)$ tại $x = x_0$.

Một hàm số có thể được cho bằng một công thức hay bằng biểu đồ hay bằng bảng.

Lưu ý rằng, khi cho nột hàm số bằng công thức mà không nói rõ tập xác định thì ta ngầm hiểu tập xác định $D$ là tập hợp các số $x ∈\mathbb R$ mà các phép toán trong công thức có nghĩa.

2. Đồ thị

Đồ thị của hàm số:

$\begin{array}{l}f:D \to \mathbb{R}\\\,\,\,\,\,\,\,\,x \mapsto y = f\left( x \right)\end{array}$

là tập hợp các điểm $(x;f(x)), x ∈ D$ trên mặt phẳng tọa độ.

3. Sự biến thiên

Hàm số $y = f(x)$ là đồng biến trên khoảng $(a;b)$ nếu với mọi $x_1,x_2 ∈ (a;b)$ mà ${x_1} < {x_2} \Leftrightarrow f({x_1}) < f({x_2})$ hay ${x_1} \ne {x_2}$ ta có $\dfrac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}> 0$.

Hàm số $y = f(x)$ là nghịch biến trên khoảng $(a;b)$ nếu với mọi ${x_1},{x_2} \in (a;b)$ mà ${x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})$ hay ${x_1} \ne {x_2}$ ta có $\dfrac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}< 0$.

4. Tính chẵn lẻ của hàm số

Hàm số

$\begin{array}{l}f:D \to \mathbb{R}\\\,\,\,\,\,\,\,\,x \mapsto y = f\left( x \right)\end{array}$ được gọi là hàm số chẵn nếu: $x ∈ D \Rightarrow -x ∈ D$ và $f(- x)=f(x)$, là hàm số lẻ nếu $x ∈ D \Rightarrow -x ∈ D$ và $f(- x) = -f(x)$.

Ví dụ:

Hàm số $y = f\left( x \right) = {x^2}$ là hàm số chẵn trên $\mathbb{R}$ vì:

+) Với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì $- x \in \mathbb{R}$.

+) $f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} = {x^2} = f\left( x \right)$.

Hàm số $y = g\left( x \right) = \dfrac{1}{x}$ là hàm số lẻ trên $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ vì:

+) Với mọi $x \in D$ thì $- x \in D$.

+) $g\left( { - x} \right) = \frac{1}{{ - x}} =  - \dfrac{1}{x} =  - g\left( x \right)$.

Hàm số $y = \sqrt x$ không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ trên $D = \left[ {0; + \infty } \right)$ vì  $x = 1 \in D$ nhưng $- x =  - 1 \notin D$.

Đồ thị của hàm số chẵn có trục đối xứng là trục tung.

Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc $O$ của hệ trục tọa độ làm tâm đối xứng.

Loigiaihay.com