Lí thuyết tích phân

1. Khái niệm và tính chất

a. Định nghĩa

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$, hiệu số $F(b) - F(a)$ được gọi là tích phân từ $a$ đến $b$ (hay tích phân xác định trên đoạn $[a;b]$ của hàm số $f(x)$.

Kí hiệu là : $\int_a^b f (x)dx$

Vậy ta có :$\int_a^b f (x)dx = F(b) - F(a) = F(x)|_a^b$

Chú ý : Trong trường hợp a = b, ta định nghĩa: $\int_a^a f (x)dx = 0$

Trường hợp a>b, ta định nghĩa: $\int_a^b f (x)dx =  - \int_b^a f (x)dx$

Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong dấu tích phân, tức là :

$\int_a^b f (x)dx = \int_a^b f (t)dt = \int_a^b f (u)du = ...$ (vì đều bằng $F(b) - F(a)$)

b. Tính chất của tích phân

$\int_a^b k f(x)dx = k\int_a^b f (x)dx$  ( với $k$ là hằng số)

$\int_a^b {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]} d{\rm{x}} = \int_a^b {f\left( x \right)} d{\rm{x}} \pm \int_a^b {g\left( x \right)} d{\rm{x}}$

$\int_a^b f (x)dx = \int_a^c f (x))dx + \int_c^b f (x)dx$ (với $a<b<c$)

2. Phương pháp tinh tích phân

a. Phương pháp đổi biến số

Định lí. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a;b]$. Giả sử hàm số $x = \varphi \left( t \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[α;β]$ sao cho $\varphi \left( \alpha  \right) = a,\varphi \left( \beta  \right) = b$ và $a \le \varphi \left( t \right) \le b,\forall t \in \left[ {\alpha ;\beta } \right]$. Khi đó:

$\int_a^b f (x)dx = \int_\alpha ^\beta  f (\varphi \left( t \right)) \varphi '(t)dt$

Chú ý. Có thể dử dụng phép biến đổi số ở dạng sau:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] sao cho α ≤ u(x) ≤ β, ∀ x∈ [a;b]. Nếu f(x) =g[u(x)].u^’(x) ∀ x∈ [a;b], trong đó g(u) liên tục trên đoạn [α;β] thì: 

$\int_a^b f (x)dx = \int_{u(a)}^{u(b)} g (u)du$

b. Phương pháp tính tích phân từng phần

Định lí. Nếu u =u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b], thì :

$\int_a^b u (x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]|_a^b - \int_a^b {u'} (x)v(x)dx$

hay $\int_a^b u dv = uv|_a^b - \int_a^b v du$

3. Bất đẳng thức (phần kiến thức bổ sung).

Nếu f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì : $\int_a^b f (x)dx \ge 0$

Từ đó ta có:

Nếu g(x), f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và 0 ≤ g(x) ≤ f(x), ∀ x ∈ [a;b] thì

$\int_a^b g (x)dx \le \int_a^b f (x)dx$

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi g(x) ≡ f(x).

Suy ra: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và m ≤ f(x) ≤ M, ∀ x ∈ [a;b] thì

$m(b - a) \le \int_a^b f (x)dx \le M(b - a)$

Loigiaihay.com