Hoán vị là gì? Cách tính và ứng dụng hoán vị giải bài toán đếm - Toán 10

Cho tập hợp A có n phần tử $(n \ge 1)$.

Mỗi cách sắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự gọi là một hoán vị các phần tử đó (gọi tắt là hoán vị của A hay của n phần tử).

Kí hiệu \({P_n}\) là số hoán vị của n phần tử.

Ta có \({P_n} = n! = n(n - 1)...2.1\) (đọc là n giai thừa hoặc giai thừa của n).

1) Bài đồ xe ô tô còn lại ba chỗ trống như hình vẽ. Có ba chiếc ô tô (kí hiệu A, B, C) đang đi vào bãi để xe ô tô.

a) Có bao nhiêu cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống?

b) Vẽ sơ đồ hình cây về các cách sắp xếp và kiểm tra kết quả tính toán ở trên.

Giải:

a) Mỗi cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là một hoán vị của ba chiếc xe. Do đó, số cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là \({P_3} = 3.2.1 = 6\) (cách).

b) Sơ đồ hình cây như hình dưới. Sơ đồ có ba cành lớn, mỗi cạnh lớn có hai cành vừa, mỗi cành vừa có một cạnh bé. Từ đó, số cạnh bé bằng 3.2.1 = 6. Từ đó, số cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là 6 cách.

2) Tính số cách xếp thứ tự đã luân lưu 11 m của 5 cầu thủ.

Giải:

Mỗi cách xếp thứ tự đã luận lưu 11 m của 5 cầu thủ là một hoán vị của 5 cầu thủ.

Vậy số cách sắp xếp là: \({P_5} = 5.4.3.2.1 = 120\).

3) Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5, lập các số có năm chữ số khác nhau.

a) Có thể lập được bao nhiêu số như vậy?

b) Trong số đó có bao nhiêu số chẵn?

Giải:

a) Mỗi số tự nhiên có năm chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số 1; 2; 3; 4; 5 là một hoán vị của năm chữ số này. Do đó, số số tự nhiên lập được là $P_{5}=51=5.4.3.2.1=120$ (số).

b) Bước 1: Chọn chữ số hàng đơn vị là chữ số chẵn. Có 2 cách chọn (chọn 2 hoặc 4).

Bước 2: Chọn bốn chữ số còn lại, có $P_{4}=4!$ cách chọn.

Từ đó, theo quy tắc nhân, số số tự nhiên chẵn có năm chữ số khác nhau lập từ các chữ số đã cho là $2.P_{4}=2.4!=2.4.3.2.1=48$ (số).