Tổ hợp là gì? Cách tính và ứng dụng tổ hợp giải bài toán đếm - Toán 10

Cho tập hợp A có n phần tử $(n \ge 1)$.

Mỗi tập con gồm k phần tử $(1 \le k \le n)$ của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

Kí hiệu \(C_n^k\) là số tổ hợp chập k của n phần tử với \(1 \le k \le n\).

Ta có: \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\) với \(0 \le k \le n\).

Chú ý: Người ta quy ước \(C_n^0 = 1\).

Nhận xét:

+) \(C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{k!}}\).

+) Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

1) Lớp 10A có 18 bạn nữ và 20 bạn nam.

a) Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ?

b) Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam?

c) Có bao nhiêu cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam?

Giải:

a) Mỗi cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ là một tổ hợp chập 3 của 18 phần tử, do đó có \(C_{18}^3\) cách chọn.

b) Mỗi cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam là một tổ hợp chập 5 của 20 phần tử, do đó có \(C_{20}^5\) cách chọn.

c) Số cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam là: \(C_{18}^3.C_{20}^5 = 816.15504 = 12651264\).

2) Tổ Một có 9 thành viên. Tuần tới là phiên trực nhật của tổ, nên cần phân công 4 bạn đi bê ghế của lớp cho buổi chào cờ.

a) Tổ có bao nhiêu cách phân công 4 bạn đi bê ghế?

b) Tổ có bao nhiêu cách chọn 5 bạn không phải đi bê ghế?

Giải:

a) Mỗi cách phân công 4 bạn từ 9 bạn là một tổ hợp chập 4 của 9 bạn. Do đó, số cách phân công 4 bạn của tổ đi bề ghế là \(C_9^4 = \frac{{9!}}{{4!5!}} = \frac{{9.8.7.6}}{{4.3.2.1}} = 126\) (cách).

b) Tương tự, số cách chọn 5 bạn từ 9 bạn không phải đi bề ghế là \(C_9^5 = \frac{{9!}}{{5!4!}} = 126\) (cách).

3) Có 7 bạn học sinh muốn chơi cờ cá ngựa, nhưng mỗi ván chỉ có 4 người chơi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 bạn chơi cờ cá ngựa?

Giải:

Mỗi cách chọn 4 bạn trong 7 bạn học sinh là một tổ hợp chập 4 của 7.

Vậy số cách chọn 4 bạn chơi cờ cá ngựa là $C_{7}^{4}=35$ (cách).