Chỉnh hợp là gì? Cách tính và ứng dụng chỉnh hợp giải bài toán đếm - Toán 10

Trong thực tiễn, bên cạnh việc chọn ra một số đối tượng từ những đối tượng cho trước, ta còn cần sắp xếp thứ tự của những đối tượng được chọn ra.

Cho tập hợp A có n phần tử $(n \ge 1)$ và số nguyên k với $1 \le k \le n$.

Mỗi cách lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự gọi là một chính hợp chập k của n phần tử đó.

Kí hiệu \(A_n^k\) là số chỉnh hợp chập k của n phần tử \((1 \le k \le n)\).

Ta có: \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}} = n(n - 1)...(n - k + 1)\).

Nhận xét: Mỗi hoán vị n phần tử cũng chính là chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Ta có \({P_n} = A_n^n\), \(n \ge 1\).

1) Phần thi chung kết nội dung chạy cự li 1500 m của một giải đấu có 10 vận động viên tham gia. Có bao nhiêu khả năng về kết quả 3 vận động viên đoạt huy chương vàng, bạc và đồng sau khi phần thi kết thúc? Biết rằng không có hai vận động viên nào về đích.

Giải:

Mỗi kết quả về 3 vận động viên đoạt huy chương vàng, bạc và đồng của nội dung thi đấu là một chỉnh hợp chập 3 của 10 vận động viên. Do đó, số kết quả có thể là \(A_{10}^3 = 10.9.8 = 720\).

2) Ở các căn hộ chung cư, người ta thường dùng các chữ số để tạo mật mã cửa. Gia đình bạn Linh đặt mật mã của là một dãy số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi gia đình bạn Linh có bao nhiêu cách để tạo mật mã?

Giải:

Mỗi mật mã của gia đình bạn Linh là một chỉnh hợp chập 6 của 10 chữ số.

Vậy có \(A_{10}^6 = 10.9.8.7.6.5 = 151200\) (cách để tạo mật mã).

3) Một lớp có 30 học sinh, giáo viên cần chọn lần lượt 4 học sinh trồng bốn cây khác nhau để tham gia lễ phát động Tết trồng cây của trường. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chọn?

Giải:

Mỗi cách chọn lần lượt 4 trong 30 học sinh để trồng bốn cây khác nhau là một chỉnh hợp chập 4 của 30.

Vậy số cách chọn là $A_{30}^{4}=657720$ (cách).