Giải mục 5 trang 77, 78 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 5

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\) có đồ thị như Hình 4.

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, có nhận xét gì về giá trị \(f\left( x \right)\) khi \(x\) dần tới 1 phía bên phải?

b) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, có nhận xét gì về giá trị \(f\left( x \right)\) khi \(x\) dần tới 1 phía bên trái?

Phương pháp giải:

Để điền giá trị vào bảng, ta thay giá trị của \(x\) vào hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\).

Lời giải chi tiết:

a)

Giá trị \(f\left( x \right)\) trở nên rất lớn khi \(x\) dần tới 1 phía bên phải.

b)

Giá trị \(f\left( x \right)\) trở nên rất bé khi \(x\) dần tới 1 phía bên trái.

Thực hành 5

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2x}}{{x - 3}}\);   

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {3x - 1} \right)\).

Phương pháp giải:

Bước 1: Đưa hàm số \(f\left( x \right)\) về tích của hai hàm số, trong đó một hàm số có giới hạn hữu hạn, còn một hàm số có giới hạn vô cực.

Bước 2: Áp dụng quy tắc xét dấu để tính giới hạn của tích.

Lời giải chi tiết:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2x}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {2x} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{1}{{x - 3}}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {2x} \right) = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} x = 2.3 = 6;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{1}{{x - 3}} =  - \infty \)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2x}}{{x - 3}} =  - \infty \)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {3x - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x\left( {3 - \frac{1}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x.\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {3 - \frac{1}{x}} \right)\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {3 - \frac{1}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } 3 - \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{x} = 3 - 0 = 3\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {3x - 1} \right) =  + \infty \)

Vận dụng 2

Xét tình huống ở đầu bài học. Gọi \(x\) là hoành độ điểm \(H\). Tính diện tích \(S\left( x \right)\) của hình chữ nhật \(OHMK\) theo \(x\). Diện tích này thay đổi như thế nào khi \(x \to {0^ + }\) và khi \(x \to  + \infty \).

Phương pháp giải:

− Để tính diện tích \(S\left( x \right)\), ta tìm độ dài \(OH\) và \(OK\) rồi áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật.

− Để xác định xem diện tích \(S\left( x \right)\) thay đổi như thế nào khi \(x \to {0^ + }\) và khi \(x \to  + \infty \), ta tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } S\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử điểm \(M\) có hoành độ là \(x\).

Độ dài \(OH\) là hoành độ của điểm \(M\). Vậy \(OH = x\).

Độ dài \(OK\) là tung độ của điểm \(M\). Vậy \(OK = \frac{1}{{{x^2}}}\).

\(S\left( x \right) = OH.OK = x.\frac{1}{{{x^2}}} = \frac{1}{x}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} =  + \infty \). Vậy diện tích \(S\left( x \right)\) trở nên rất lớn khi \(x \to {0^ + }\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{x} = 0\). Vậy diện tích \(S\left( x \right)\) dần về 0 khi \(x \to  + \infty \).