Giải mục 2 trang 9, 10, 11 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Hoạt động 3

Cho ba số dương a, b₁, b₂ và \(a \ne 1\). Đặt \(x = {\log _a}{b_1};\,y = {\log _a}{b_2}.\)

a) Tính b₁, b₂ theo a, x, y.

b) Tính \({\log _a}\left( {{b_1}{b_2}} \right),{\log _a}\left( {\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}} \right)\) theo x, y.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng: \(\alpha  = {\log _a}b\, \Leftrightarrow {a^\alpha } = b\)

b) Thay b₁, b₂ đã tính ở phần a vào \({\log _a}\left( {{b_1}{b_2}} \right),{\log _a}\left( {\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}} \right)\). Áp dụng: \({a^n}.{a^m} = {a^{n + m}};{a^n}:{a^m} = {a^{n - m}}\) và \({\log _a}\left( {{a^x}} \right) = x\).

Lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}x = {\log _a}{b_1} \Rightarrow {a^x} = {b_1}\\y = {\log _a}{b_2} \Rightarrow {a^y} = {b_2}\end{array}\)

b) \({\log _a}\left( {{b_1}{b_2}} \right) = {\log _a}\left( {{a^x}.{a^y}} \right) = {\log _a}\left( {{a^{x + y}}} \right) = x + y\)

\({\log _a}\left( {\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}} \right) = {\log _a}\left( {\frac{{{a^x}}}{{{a^y}}}} \right) = {\log _a}\left( {{a^{x - y}}} \right) = x - y\)

Luyện tập 2

Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau:

a) \(M = {\log _{\frac{1}{2}}}2 + {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{2}{3} + {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{3}{8};\)

b) \(N = {\log _5}15 - {\log _5}\sqrt 3  - {\log _5}\sqrt {75} .\)

Phương pháp giải:

Áp dụng: \({\log _a}b + {\log _a}c = {\log _a}\left( {bc} \right);{\log _a}b - {\log _a}c = {\log _a}\left( {\frac{b}{c}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}M = {\log _{\frac{1}{2}}}2 + {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{2}{3} + {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{3}{8}\\ = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2.\frac{2}{3}.\frac{3}{8}} \right) = {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{2} = 1\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l}N = {\log _5}15 - {\log _5}\sqrt 3  - {\log _5}\sqrt {75} \\ = {\log _5}\left( {15:\sqrt 3 :\sqrt {75} } \right)\\ = {\log _5}1 = 0\end{array}\)

Hoạt động 4

Cho hai số dương a, b và \(a \ne 1\). Đặt \(x = {\log _a}b\). Tính \({\log _a}\left( {{b^\alpha }} \right)\) theo \(x\,\left( {\alpha  \in \mathbb{R}} \right)\).

Phương pháp giải:

Từ \(x = {\log _a}b\), biểu diễn b theo a, x. Thay b vừa tìm được vào \({\log _a}\left( {{b^\alpha }} \right)\) để tính.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}x = {\log _a}b \Rightarrow {a^x} = b\\ \Rightarrow {\log _a}\left( {{b^\alpha }} \right) = {\log _a}\left( {{{\left( {{a^x}} \right)}^\alpha }} \right) = {\log _a}\left( {{a^{\alpha x}}} \right) = \alpha x\end{array}\)

Luyện tập 3

Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức:

\(A = {\log _5}\sqrt 3  - \frac{1}{2}{\log _5}12 + 3{\log _5}\sqrt[3]{{50}}.\)

Phương pháp giải:

Áp dụng: \(\alpha {\log _a}b = {\log _a}{b^\alpha }\) và \({\log _a}b + {\log _a}c = {\log _a}\left( {bc} \right);{\log _a}b - {\log _a}c = {\log _a}\left( {\frac{b}{c}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = {\log _5}\sqrt 3  - \frac{1}{2}{\log _5}12 + 3{\log _5}\sqrt[3]{{50}}\\ = {\log _5}\sqrt 3  - {\log _5}\left( {{{12}^{\frac{1}{2}}}} \right) + {\log _5}\left( {{{\left( {\sqrt[3]{{50}}} \right)}^3}} \right)\\ = {\log _5}\sqrt 3  - {\log _5}\left( {\sqrt {12} } \right) + {\log _5}50\\ = {\log _5}\left( {\sqrt 3 :\sqrt {12} .50} \right) = {\log _5}25 = 2\end{array}\)

Hoạt động 5

Cho ba số dương a, b, c, \(a \ne 1\), \(c \ne 1\). Đặt \(x = {\log _c}a;y = {\log _a}b\).

a) Tính a, b và \({\log _c}b\) theo c, x, y.

b) Suy ra hệ thức liên hệ giữa \({\log _a}b,{\log _c}a,{\log _c}b\).

Phương pháp giải:

a) Áp dụng: \({\log _a}b = \alpha  \Leftrightarrow {a^\alpha } = b\) và \({\log _a}\left( {{a^b}} \right) = b\).

b) Dựa vào biểu thức tính \({\log _c}b\) theo x, y ở phần a. Thay \(x = {\log _c}a;y = {\log _a}b\) vào biểu thức.

Lời giải chi tiết:

a) \(x = {\log _c}a \Rightarrow {c^x} = a\)

\(y = {\log _a}b \Leftrightarrow {a^y} = b \Leftrightarrow {\left( {{c^x}} \right)^y} = b \Leftrightarrow {c^{xy}} = b\)

\({\log _c}b = {\log _c}\left( {{c^{xy}}} \right) = xy\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _c}b = xy\\ \Leftrightarrow {\log _c}b = {\log _a}b.{\log _c}a\end{array}\)

Luyện tập 4

a) Tính giá trị biểu thức \(A = {\log _2}3.{\log _5}4.{\log _{\sqrt 3 }}5\).

b) Cho \(a = {\log _2}5;b = {\log _2}3\). Tính \({\log _3}60\) theo a và b.

Phương pháp giải:

Áp dụng:

a) \({\log _c}a.{\log _a}b = {\log _c}b\); \({\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\)

b) \({\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}\); \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\); \({\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\)

Lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}A = {\log _2}3.{\log _5}4.{\log _{\sqrt 3 }}5\\ = {\log _2}3.\left( {{{\log }_{\sqrt 3 }}5.{{\log }_5}4} \right)\\ = {\log _2}3.{\log _{\sqrt 3 }}4\\ = {\log _2}{\left( {\sqrt 3 } \right)^2}.{\log _{\sqrt 3 }}4\\ = 2{\log _2}\sqrt 3 .{\log _{\sqrt 3 }}4\\ = 2{\log _2}4 = 2.2 = 4\end{array}\)

b) Ta có: \({\log _2}60 = {\log _2}\left( {{2^2}.3.5} \right) = 2{\log _2}2 + {\log _2}3 + {\log _2}5 = 2 + a + b\)

\( \Rightarrow {\log _3}60 = \frac{{{{\log }_2}60}}{{{{\log }_2}3}} = \frac{{2 + a + b}}{b}\)