Giải mục 2 trang 89, 90 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ 3

a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số \(y = {x^3} + {x^2}\) tại điểm x bất kì.

b) So sánh: \(\left( {{x^3} + {x^2}} \right)'\) và \(\left( {{x^3}} \right)' + \left( {{x^2}} \right)'.\)

Phương pháp giải:

+) \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).

+) \({\left( {{x^n}} \right)^,} = n{x^{n - 1}}\).

Lời giải chi tiết:

a) Với \({x_0}\) bất kì, ta có:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^3} + {x^2} - x_0^3 - x_0^2}}{{x - {x_0}}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {{x^3} - x_0^3} \right) + \left( {{x^2} - x_0^2} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x{x_0} + x_0^2} \right) + \left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x{x_0} + x_0^2 + x + {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2} + x{x_0} + x_0^2 + x + {x_0}} \right)\)

\( = 3x_0^2 + 2{x_0}\).

Vậy hàm số \(y = {x^3} + {x^2}\) có đạo hàm là hàm số \(y' = 3{x^2} + 2x\).

b) \({\left( {{x^3}} \right)’} + {\left( {{x^2}} \right)’} = 3{x^2} + 2x\)

Do đó \({\left( {{x^3} + {x^2}} \right)’ }\) = \({\left( {{x^3}} \right)’} + {\left( {{x^2}} \right)’}\).

LT 1

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{\sqrt x }}{{x + 1}}\);

b) \(y = \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)\).

Phương pháp giải:

- Sử dụng quy tắc \(\left( {u \pm v} \right)' = u' \pm v'\); \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\); \({\left( {\frac{u}{v}} \right)'} = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

- Sử dụng công thức \({\left( {{x^n}} \right)'} = n{x^{n - 1}}\); \({\left( {\sqrt x } \right)'} = \frac{1}{{2\sqrt x }}\).

Lời giải chi tiết:

a) \(y' = \frac{{\left( {\sqrt x } \right)'\left( {x + 1} \right) - \sqrt x \left( {x + 1} \right)'}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{\frac{1}{{2\sqrt x }}(x + 1) - \sqrt x .1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{\frac{{x + 1}}{{2\sqrt x }} - \sqrt x }}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{\frac{{x + 1 - 2x}}{{2\sqrt x }}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{x + 1 - 2x}}{{2\sqrt x {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{ - x + 1}}{{2\sqrt x {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

b) \(y' = \left( {\sqrt x  + 1} \right)'\left( {{x^2} + 2} \right) + \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)'\)

\( = \frac{1}{{2\sqrt x }}\left( {{x^2} + 2} \right) + \left( {\sqrt x  + 1} \right).2x\).