Giải mục 2 trang 32, 33, 34 SGK Toán 8 tập 1 – Chân trời sáng tạo

HĐ2

Cho hai phân thức \(A = \dfrac{{a + b}}{{ab}}\) và \(B = \dfrac{{a - b}}{{{a^2}}}\) 

a) Tìm đa thức thích hợp thay vào mỗi  sau đây:

\(\dfrac{{a + b}}{{ab}}\);                      

\(\dfrac{{a - b}}{{{a^2}}}\) 

b) Sử dụng kết quả trên, tính \(A + B\) và \(A - B\)

Phương pháp giải:

a) Quy đồng mẫu thức của phân thức ở vế trái để tìm được đa thức thay vào dấu

b) Sử dụng quy tắc cộng, trừ phân thức

Lời giải chi tiết:

a) ĐKXĐ: \(a \ne 0;\;b \ne 0\)

\(\dfrac{{a + b}}{{ab}}\)\( = \dfrac{{\left( {a + b} \right)a}}{{ab.a}} = \dfrac{{{a^2} + ab}}{{{a^2}b}}\)  . Vậy đa thức cần tìm là \({a^2} + ab\)

\(\dfrac{{a - b}}{{{a^2}}}\)\( = \dfrac{{\left( {a - b} \right)b}}{{{a^2}b}} = \dfrac{{ab - {b^2}}}{{{a^2}b}}\). Vậy đa thức cần tìm là \(ab - {b^2}\)

b) \(A + B = \dfrac{{a + b}}{{ab}} + \dfrac{{a - b}}{{{a^2}}} = \dfrac{{{a^2} + ab}}{{{a^2}b}} + \dfrac{{ab - {b^2}}}{{{a^2}b}} = \dfrac{{{a^2} + ab + ab - {b^2}}}{{{a^2}b}} = \dfrac{{{a^2} + 2ab - {b^2}}}{{{a^2}b}}\)

\(A - B = \dfrac{{a + b}}{{ab}} - \dfrac{{a - b}}{{{a^2}}} = \dfrac{{{a^2} + ab}}{{{a^2}b}} - \dfrac{{ab - {b^2}}}{{{a^2}b}} = \dfrac{{{a^2} + ab - ab + {b^2}}}{{{a^2}b}} = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}b}}\)

Thực hành 2

Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a) \(\dfrac{a}{{a - 3}} - \dfrac{3}{{a + 3}}\)                        

b) \(\dfrac{1}{{2x}} + \dfrac{2}{{{x^2}}}\)                         

c) \(\dfrac{4}{{{x^2} - 1}} - \dfrac{2}{{{x^2} + x}}\) 

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu thức các phân thức rồi thực hiện hiện phép tính cộng, trừ phân thức

Lời giải chi tiết:

a) ĐKXĐ: \(a \ne  \pm 3\)

\(\dfrac{a}{{a - 3}} - \dfrac{3}{{a + 3}}\) \( = \dfrac{{a\left( {a + 3} \right)}}{{\left( {a - 3} \right)\left( {a + 3} \right)}} - \dfrac{{3\left( {a - 3} \right)}}{{\left( {a - 3} \right)\left( {a + 3} \right)}} = \dfrac{{{a^2} + 3a}}{{\left( {a - 3} \right)\left( {a + 3} \right)}} - \dfrac{{3a - 9}}{{\left( {a - 3} \right)\left( {a - 3} \right)}}\)

\( = \dfrac{{{a^2} + 3a - 3a + 9}}{{\left( {a - 3} \right)\left( {a + 3} \right)}} = \dfrac{{{a^2} + 9}}{{{a^2} - 9}}\)

b) ĐKXĐ: \(x \ne 0\)

\(\dfrac{1}{{2x}} + \dfrac{2}{{{x^2}}}\) \( = \dfrac{x}{{2{x^2}}} + \dfrac{4}{{2{x^2}}} = \dfrac{{x + 4}}{{2{x^2}}}\)

c) ĐKXĐ: \(x \ne 0;\;x \ne  \pm 1\)

\(\dfrac{4}{{{x^2} - 1}} - \dfrac{2}{{{x^2} + x}}\) \( = \dfrac{4}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \dfrac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{4x}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \dfrac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) \( = \dfrac{{4x}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \dfrac{{2x - 2}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) \( = \dfrac{{4x - 2x + 2}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{2x + 2}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{2}{{x\left( {x - 1} \right)}}\)

Thực hành 3

Thực hiện phép tính: \(\dfrac{x}{{x + y}} + \dfrac{{2xy}}{{{x^2} - {y^2}}} - \dfrac{y}{{x + y}}\) 

Phương pháp giải:

- Phân tích mẫu thành nhân tử để tìm mẫu thức chung

- Quy đồng mẫu thức rồi thực hiện phép tính

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x \ne  \pm y\)

\(\dfrac{x}{{x + y}} + \dfrac{{2xy}}{{{x^2} - {y^2}}} - \dfrac{y}{{x + y}} = \dfrac{x}{{x + y}} + \dfrac{{2xy}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} - \dfrac{y}{{x + y}}\) \( = \dfrac{{x\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \dfrac{{2xy}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} - \dfrac{{y\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}\) \( = \dfrac{{{x^2} - xy + 2xy - xy + {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}\)

Vận dụng

Viết biểu thức tính tổng thời gian đi và về, chênh lệch thời gian giữa đi và về của đội đua thuyền ở tình huống trong câu hỏi mở đầu (trang 31). Tính giá trị của các đại lượng này khi \(x = 6\)km/h.

Phương pháp giải:

- Viết biểu thức tính thời gian đi xuôi dòng từ A đến B, Thời gian đi ngược dòng từ B về A

- Tính hiệu thời gian đi từ B về A và thời gian đi từ A dến B

Lời giải chi tiết:

Thời gian đội đi xuôi dòng từ A đến B là: \(\dfrac{3}{{x + 1}}\) (giờ)

Thời gian đội đi ngược dòng từ B về A là: \(\dfrac{3}{{x - 1}}\) (giờ)

Điều kiện: \(x \ne  \pm 1\)

Thời gian thi của đội là:

\(\dfrac{3}{{x + 1}} + \dfrac{3}{{x - 1}} \)

\(= \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \dfrac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)

\(= \dfrac{{3x - 3 + 3x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \)

\(= \dfrac{{6x}}{{{x^2} - 1}}\) (giờ)

Chênh lệch giữa thời gian đi và bề của đội là:

\(\dfrac{3}{{x - 1}} - \dfrac{3}{{x + 1}}\)

\(= \dfrac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\(= \dfrac{{3x + 3 - 3x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\(= \dfrac{6}{{{x^2} - 1}}\) (giờ)

Khi \(x = 6\) (thỏa mãn điều kiện) thì thời gian thi của đội là: \(\dfrac{{6.6}}{{{6^2} - 1}} = \dfrac{{36}}{{36 - 1}} = \dfrac{{36}}{{35}}\) (giờ)

Khi \(x = 6\) (thỏa mãn điều kiện) thì chênh lệch giữa thời gian đi và về của đội là: \(\dfrac{6}{{{6^2} - 1}} = \dfrac{6}{{36 - 1}} = \dfrac{6}{{35}}\) (giờ)