Giải mục 1 trang 64, 65 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 64 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo

Thuyền trưởng Vinh gửi một tín hiệu vô tuyến từ thuyền đến trạm điều khiển. Xác suất để trạm điều khiển thu được tín hiệu vô tuyến là 0,8. Gọi $X$ là số tín hiệu vô tuyến của thuyền trưởng Vinh được thu bởi trạm điều khiển. Hãy tính kì vọng và phương sai của $X$.

Phương pháp giải:

Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân bố xác suất như sau:

Kì vọng của $X$ được tính bởi công thức: $E\left( X \right) = {x_1}{p_1} + {x_2}{p_2} + ... + {x_n}{p_n}$.

Phương sai của $X$ được tính bởi công thức: $V\left( X \right) = x_1^2{p_1} + x_2^2{p_2} + ... + x_n^2{p_n} - {\left[ {E\left( X \right)} \right]^2}$.

Lời giải chi tiết:

Xác suất để trạm điều khiển thu được tín hiệu vô tuyến là 0,8.

Xác suất để trạm điều khiển không thu được tín hiệu vô tuyến là $1 - 0,8 = 0,2$.

Bảng phân bố xác suất của $X$:

Kì vọng của $X$ là: $E\left( X \right) = 0.0,2 + 1.0,8 = 0,8$.

Phương sai của $X$ là: $V\left( X \right) = {0^2}.0,2 + {1^2}.0,8 - {0,8^2} = 0,16$.

Luyện tập 1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 65 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trong các biến ngẫu nhiên rời rạc sau, biến ngẫu nhiên rời rạc nào có phân bố Bernoulli? Xác định giá trị của tham số $p$ và tính độ lệch chuẩn của các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố Bernoulli đó.

a) $X$ là số mặt 6 chấm xuất hiện khi gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất.

b) Gieo 2 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Biến ngẫu nhiên rời rạc $Y$ nhận giá trị bằng 1 nếu xuất hiện mặt 6 chấm, bằng 0 nếu không xuất hiện mặt nào 6 chấm.

c) Gieo 1 con xúc xắc cân đối và đồng chất, gọi $Z$ là số dư khi chia số chấm xuất hiện cho 2.

d) Gieo 1 con xúc xắc cân đối và đồng chất, gọi $T$ là số dư khi chia số chấm xuất hiện cho 3.

Phương pháp giải:

‒ Sử dụng khái niệm: Biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ được gọi là có phân bố Bernoulli với tham số $p \in \left( {0;1} \right)$, kí hiệu là $X \sim B{\rm{er}}\left( p \right)$, nếu $X$ chỉ nhận hai giá trị là 0 và 1, và $P\left( {X = 1} \right) = p;$$P\left( {X = 0} \right) = 1 - p$.

‒ Nếu $X \sim B{\rm{er}}\left( p \right)$ thì $E\left( X \right) = p$ và $V\left( X \right) = p\left( {1 - p} \right)$.

Lời giải chi tiết:

a) $X$ là phân bố Bernoulli vì nó nhận hai giá trị bằng 0 (nếu xuất hiện mặt 1, 2, 3, 4, 5 chấm) và 1 (nếu xuất hiện mặt 6 chấm).

Ta có: $P\left( {X = 1} \right) = \frac{1}{6}$. Vậy $p = \frac{1}{6}$.

Phương sai của $X$: $V\left( X \right) = p\left( {1 - p} \right) = \frac{1}{6}\left( {1 - \frac{1}{6}} \right) = \frac{5}{{36}}$.

Độ lệch chuẩn của $X$: $\sigma \left( X \right) = \sqrt {E\left( X \right)}  = \sqrt {\frac{5}{{36}}}  = \frac{{\sqrt 5 }}{6} \approx 0,373$.

b) $Y$ là phân bố Bernoulli vì nó nhận hai giá trị bằng 0 (nếu không xuất hiện mặt nào 6 chấm) và 1 (nếu xuất hiện mặt 6 chấm).

Ta có: $P\left( {Y = 1} \right) = \frac{{11}}{{36}}$. Vậy $p = \frac{{11}}{{36}}$.

Phương sai của $X$: $V\left( Y \right) = p\left( {1 - p} \right) = \frac{{11}}{{36}}\left( {1 - \frac{{11}}{{36}}} \right) = \frac{{275}}{{1296}}$.

Độ lệch chuẩn của $X$: $\sigma \left( Y \right) = \sqrt {E\left( Y \right)}  = \sqrt {\frac{{275}}{{1296}}}  = \frac{{5\sqrt {11} }}{{36}} \approx 0,461$.

c) $Z$ là phân bố Bernoulli vì nó nhận hai giá trị bằng 0 (nếu xuất hiện mặt 2, 4, 6 chấm) và 1 (nếu xuất hiện mặt 1, 3, 5 chấm).

Ta có: $P\left( {Z = 1} \right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Vậy $p = \frac{1}{2}$.

Phương sai của $X$: $V\left( Z \right) = p\left( {1 - p} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4}$.

Độ lệch chuẩn của $X$: $\sigma \left( Z \right) = \sqrt {E\left( Z \right)}  = \sqrt {\frac{1}{4}}  = \frac{1}{2} = 0,5$.

d) $T$ nhận ba giá trị bằng 0 (nếu xuất hiện mặt 3, 6 chấm), 1 (nếu xuất hiện mặt 1, 4 chấm) và 3 (nếu xuất hiện mặt 2, 5 chấm). Vậy $T$ không là phân bố Bernoulli.