Giải mục 2 trang 66, 67 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 66 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo

Xét phép thử ngẫu nhiên \(T\) là “Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất”. Hãy liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử \(T\) ba lần liên tiếp một cách độc lập.

Phương pháp giải:

Liệt kê.

Lời giải chi tiết:

Gọi S là kết quả đồng xu xuất hiện mặt sấp và N là kết quả đồng xu xuất hiện mặt ngửa.

Khi thực hiện phép thử \(T\) ba lần liên tiếp, các kết quả có thể xảy ra là: SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN.

Luyện tập 2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 67 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trong Hoạt động mở đầu (trang 64), hãy tính xác suất của biến cố “Trong 100 hạt giống bác Hoan gieo, có đúng 90 hạt nảy mầm”.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức Bernoulli: \(P\left( {{A_k}} \right) = {C}_n^k{p^k}{\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(T\) là phép thử: “Gieo 1 hạt giống”. Theo đề bài, phép thử \(T\) được lặp lại 100 lần một cách độc lập.

Gọi \(A\) là biến cố: “Hạt giống nảy mầm”. Ta có: \(P\left( A \right) = 0,9\).

Gọi \({A_k}\) là biến cố: “Có \(k\) hạt giống nảy mầm”. Áp dụng công thức Bernoulli, ta có:

\(P\left( {{A_k}} \right) = {C}_{100}^k{.0,9^k}{\left( {1 - 0,9} \right)^{100 - k}} = {C}_{100}^k{.0,9^k}{.0,1^{100 - k}}\), với \(k = 0,1,...,100\).

Xác suất của biến cố “Trong 100 hạt giống bác Hoan gieo, có đúng 90 hạt nảy mầm” là:

\(P\left( {{A_{90}}} \right) = {C}_{100}^{90}{.0,9^{90}}{.0,1^{10}} \approx 0,13\).

Luyện tập 3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 67 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tỉ lệ người lao động có bằng đại học ở một khu công nghiệp là 30%. Tiến hành phỏng vấn lần lượt 10 người lao động được lựa chọn ngẫu nhiên một cách độc lập từ khu công nghiệp đó. Tính xác suất của các biến cố sau:

\(A\): “Có đúng 3 trong 10 người được phỏng vấn có bằng đại học”.

\(B\): “Có ít nhất 1 trong 10 người được phỏng vấn có bằng đại học”.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức Bernoulli: \(P\left( {{A_k}} \right) = {C}_n^k{p^k}{\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(T\) là phép thử: “Chọn ngẫu nhiên một người lao động ở một khu công nghiệp”. Theo đề bài, phép thử \(T\) được lặp lại 10 lần một cách độc lập.

Gọi \(C\) là biến cố: “Người đó có bằng đại học”. Ta có: \(P\left( C \right) = 0,3\).

Gọi \({C_k}\) là biến cố: “Có \(k\) trong 10 người được phỏng vấn có bằng đại học”. Áp dụng công thức Bernoulli, ta có:

\(P\left( {{C_k}} \right) = {C}_{10}^k{.0,3^k}{\left( {1 - 0,3} \right)^{10 - k}} = {C}_{10}^k{.0,3^k}{.0,7^{10 - k}}\), với \(k = 0,1,...,10\).

Xác suất của biến cố \(A\): “Có đúng 3 trong 10 người được phỏng vấn có bằng đại học” là:

\(P\left( A \right) = P\left( {{C_3}} \right) = {C}_{10}^3{.0,3^3}{.0,7^7} \approx 0,27\).

\(B\): “Có ít nhất 1 trong 10 người được phỏng vấn có bằng đại học”.

Khi đó \(\overline B \): “Không có người nào trong 10 người được phỏng vấn có bằng đại học”.

Ta có: \(P\left( {\overline B } \right) = P\left( {{C_0}} \right) = {C}_{10}^0{.0,3^0}{.0,7^{10}} = {0,7^{10}}\).

Vậy \(P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 1 - {0,7^{10}} \approx 0,97\).