Giải mục 1 trang 6, 7, 8, 9, 10 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 6 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo

Xét bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F = x + 2y$ với $\left( {x;y} \right)$ là nghiệm của hệ bất phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 4 \ge 0\\x + y - 5 \le 0\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.$ (I)

Miền nghiệm ${\Omega }$ của hệ (I) là miền tứ giác $OABC$ (được tô màu) trên Hình 1. Với giá trị $F$ cho trước, xét đường thẳng $d:x + 2y - F = 0$ hay $y =  - \frac{x}{2} + \frac{F}{2}$.

Trả lời các câu hỏi sau để giải bài toán trên.

a) Với giá trị nào của $F$ thì đường thẳng $d$ đi qua điểm $O$, điểm $B$?

b) Khi giá trị của $F$ tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của $d$ với trục $Oy$ thay đổi như thế nào? Khi đó, phương của đường thẳng $d$ có thay đổi không?

c) Với điều kiện nào của $F$ thì đường thẳng $d$ và miền nghiệm ${\Omega }$ có điểm chung?

d) Từ đó, chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F = x + 2y$ trên miền nghiệm ${\Omega }$. Biểu thức $F$ đạt được các giá trị đó tại điểm nào?

Phương pháp giải:

‒ Đường thẳng $d:ax + by + c = 0$ đi qua $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ khi $a{x_0} + b{y_0} + c = 0$.

‒ Tìm tung độ giao điểm của $d$ với trục $Oy$ và nhận xét tính tăng giảm khi giá trị của $F$ tăng (hoặc giảm).

‒ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F = x + 2y$ trên miền nghiệm ${\Omega }$ đạt được tại các đỉnh của tứ giác.

Lời giải chi tiết:

a) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $O\left( {0;0} \right)$ khi $0 + 2.0 - F = 0$ hay $F = 0$.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $B\left( {2;3} \right)$ khi $2 + 2.3 - F = 0$ hay $F = 8$.

b) Tung độ giao điểm của $d$ với trục $Oy$: $y =  - \frac{0}{2} + \frac{F}{2} = \frac{F}{2}$

Do đó, khi giá trị của F tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của $d$ với trục $Oy$ tăng (hoặc giảm) theo.

Đường thẳng $d$ luôn có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {1;2} \right)$ nên phương của đường thẳng $d$ không thay đổi.

c) Với điều kiện $0 \le F \le 8$ thì đường thẳng $d$ và miền nghiệm ${\Omega }$ có điểm chung.

d) Ta có: $O\left( {0;0} \right),A\left( {0;2} \right),B\left( {2;3} \right),C\left( {5;0} \right)$.

Giá trị của biểu thức $F$ tại các đỉnh của ${\Omega }$:

$F\left( {0;0} \right) = 0,F\left( {0;2} \right) = 4,F\left( {2;3} \right) = 8,F\left( {5;0} \right) = 5$

Do đó $\mathop {\max }\limits_{\Omega } F = 8$ tại điểm $B\left( {2;3} \right)$ và $\mathop {\min }\limits_{\Omega } F = 0$ tại điểm $O\left( {0;0} \right)$.

Hoạt động 2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 8 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính:

$F = 2x + y \to \max ,\min$

với ràng buộc

$\left\{ \begin{array}{l}x + y - 4 \ge 0\\3x - y \ge 0\\x \ge 0\\y \ge 1\end{array} \right.$ (II)

Tập phương án ${\Omega }$ của bài toán là phần được tô màu trên Hình 3. Hai điểm $A\left( {1;3} \right)$ và $B\left( {3;1} \right)$ gọi là các đỉnh của ${\Omega }$.

Với giá trị $F$ cho trước, xét đường thẳng $d:2x + y = F$ hay $d:y =  - 2x + F$.

Trả lời các câu hỏi sau để giải bài toán trên.

a) Tìm giá trị của $F$ để đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( {1;3} \right)$. Gọi giá trị tìm được là ${F_A}$.

b) Khi giá trị của $F$ tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của $d$ với trục $Oy$ thay đổi như thế nào? Khi đó, phương của đường thẳng $d$ có thay đổi không?

c) Nếu $F < {F_A}$ thì $d$ và ${\Omega }$ có điểm chung không? Từ đó, chỉ ra giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu $F = 2x + y$ trên ${\Omega }$.

d) Với giá trị nào của $F$ thì $d$ và ${\Omega }$ có điểm chung? Hàm mục tiêu $F = 2x + y$ giá trị lớn nhất trên ${\Omega }$ hay không?

Phương pháp giải:

‒ Đường thẳng $d:ax + by + c = 0$ đi qua $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ khi $a{x_0} + b{y_0} + c = 0$.

‒ Tìm tung độ giao điểm của $d$ với trục $Oy$ và nhận xét tính tăng giảm khi giá trị của $F$ tăng (hoặc giảm).

Lời giải chi tiết:

a) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( {1;3} \right)$ khi $2.1 + 3 = F$ hay $F = 5$.

Vậy ${F_A} = 5$.

b) Tung độ giao điểm của $d$ với trục $Oy$: $y =  - 2.0 + F = F$

Do đó, khi giá trị của F tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của $d$ với trục $Oy$ tăng (hoặc giảm) theo.

Đường thẳng $d$ luôn có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {2;1} \right)$ nên phương của đường thẳng $d$ không thay đổi.

c) Nếu $F < {F_A}$ thì $d$ và ${\Omega }$ không có điểm chung; Suy ra $\mathop {\min }\limits_{\Omega }$ F = 5\).

d) $d$ và ${\Omega }$ có điểm chung khi $F \ge {F_A} = 5$.

Do đó hàm mục tiêu $F = 2x + y$ không đạt giá trị lớn nhất trên ${\Omega }$.

Thực hành 1

Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 10 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo

Giải bài toán quy hoạch tuyến tính:

$F = 4x + 3y \to \max ,\min$

với ràng buộc

$\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 8 \le 0\\2x - y - 6 \le 0\\x \ge 0\\y \ge 1\end{array} \right.$

Phương pháp giải:

Bước 1: Biểu diễn tập phương án của bài toán trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$.

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức $F$ tại các đỉnh của ${\Omega }$.

Trong trường hợp tập phương án là miền đa giác thì giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị này là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của $F$ trên ${\Omega }$.

Trong trường hợp tập phương án không là miền đa giác nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số $a$ và $b$ không âm thì giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là giá trị nhỏ nhất của $F$ trên ${\Omega }$.

Lời giải chi tiết:

Tập phương án ${\Omega }$ là miền tứ giác $ABCD$.

Toạ độ $A$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 8\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 4\end{array} \right.$. Vậy $A\left( {0;4} \right)$

Toạ độ $B$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 8\\2{\rm{x}} - y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 2\end{array} \right.$. Vậy $B\left( {4;2} \right)$

Toạ độ $C$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\2{\rm{x}} - y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3,5\\y = 1\end{array} \right.$. Vậy $C\left( {3,5;1} \right)$

Toạ độ $D$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.$. Vậy $D\left( {0;1} \right)$

Giá trị của biểu thức $F$ tại các đỉnh của ${\Omega }$:

$F\left( {0;4} \right) = 12;F\left( {4;2} \right) = 22;F\left( {3,5;1} \right) = 17;F\left( {0;1} \right) = 3$

Do đó: $\mathop {\max }\limits_{\Omega } F = F\left( {4;2} \right) = 22;\mathop {\min }\limits_{\Omega } F = F\left( {0;1} \right) = 3$.

Thực hành 2

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 10 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo

Giải bài toán quy hoạch tuyến tính:

$F = 25x + 10y \to \min$

với ràng buộc

$\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - 3y \le 6\\x + y \ge 4\\x \ge 2\end{array} \right.$

Phương pháp giải:

Bước 1: Biểu diễn tập phương án của bài toán trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$.

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức $F$ tại các đỉnh của ${\Omega }$.

Trong trường hợp tập phương án là miền đa giác thì giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị này là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của $F$ trên ${\Omega }$.

Trong trường hợp tập phương án không là miền đa giác nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số $a$ và $b$ không âm thì giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là giá trị nhỏ nhất của $F$ trên ${\Omega }$.

Lời giải chi tiết:

Viết lại ràng buộc của bài toán thành

$\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - 3y - 6 \le 0\\x + y - 4 \ge 0\\x \ge 2\end{array} \right.$

Tập phương án ${\Omega }$ của bài toán là miền không gạch (không là miền đa giác).

Toạ độ $A$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.$. Vậy $A\left( {2;2} \right)$.

Toạ độ $B$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 6\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{18}}{5}\\y = \frac{2}{5}\end{array} \right.$. Vậy $B\left( {\frac{{18}}{5};\frac{2}{5}} \right)$.

Do ${\Omega }$ nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số của biểu thức $F = 25x + 10y$ đều dương nên $F$ đạt giá trị nhỏ nhất tại một đỉnh của ${\Omega }$.

Ta có $F\left( {2;2} \right) = 25\,.\,2 + 10\,.\,2 = 70;F\left( {\frac{{18}}{5};\frac{2}{5}} \right) = 25 \cdot \frac{{18}}{5} + 10 \cdot \frac{2}{5} = 94$.

Do đó $F$ đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh $A\left( {2;2} \right)$ và $\mathop {\min }\limits_{\Omega } F = F\left( {2;2} \right) = 70$.

Vận dụng

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 10 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho bài toán quy hoạch tuyến tính

$F = 3x + 3y \to \max ,\min$

có tập phương án ${\Omega }$ là miền tứ giác $ABCD$ (được tô màu như Hình 5) với các đỉnh là $A\left( {0;5} \right),$$B\left( {4;1} \right),C\left( {2;1} \right)$ và $D\left( {0;2} \right)$.

a) Giải bài toán quy hoạch tuyến tính đã cho.

b) Hàm mục tiêu $F$ đạt giá trị lớn nhất trên ${\Omega }$ tại bao nhiêu điểm? Giải thích.

Phương pháp giải:

Bước 1: Biểu diễn tập phương án của bài toán trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$.

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức $F$ tại các đỉnh của ${\Omega }$.

Trong trường hợp tập phương án là miền đa giác thì giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị này là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của $F$ trên ${\Omega }$.

Trong trường hợp tập phương án không là miền đa giác nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số $a$ và $b$ không âm thì giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là giá trị nhỏ nhất của $F$ trên ${\Omega }$.

Lời giải chi tiết:

a) Giá trị của biểu thức $F$ tại các đỉnh của ${\Omega }$:

$F\left( {0;5} \right) = 3.0 + 3\,.5 = 15;F\left( {4;1} \right) = 3\,.4 + 3\,.1 = 15;F\left( {2;1} \right) = 3.2 + 3\,.1 = 9;F\left( {0;2} \right) = 3\,.0 + 3\,.2 = 6$

Do đó: $\mathop {\max }\limits_{\Omega } F = F\left( {0;5} \right) = F\left( {4;1} \right) = 15;\mathop {\min }\limits_{\Omega } F = F\left( {0;2} \right) = 6$.

b) Tại mọi điểm $\left( {x;y} \right)$ trên cạnh $AB$ của miền ${\Omega }$, ta luôn có $x + y - 5 = 0$ hay $x + y = 5$.

Do đó $F = 3x + 3y = 3\left( {x + y} \right) = 3.5 = 15$.

Vậy hàm mục tiêu $F$ đạt giá trị lớn nhất trên ${\Omega }$ tại mọi điểm thuộc ạnh $AB$ của miền ${\Omega }$.