Giải bài 3 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Một cơ sở đóng thuyền thủ công cần 10 giờ lao động để đóng một thuyền loại A và 15 giờ lao động để đóng một thuyền loại B. Mỗi tuần cơ sở bố trí được tối đa 120 giờ lao động cho việc đóng hai loại thuyền này. Qua thực tế, người ta thấy mỗi tuần cơ sở bán được tối đa 6 thuyền loại A và tối thiểu 2 thuyền loại B. Mỗi thuyền loại A, loại B cho lợi nhuận lần lượt là 0,5 triệu đồng và 0,7 triệu đồng. Mỗi tuần cơ sở nên đóng bao nhiêu thuyền mỗi loại để có thể thu được lợi nhuận cao nhất?

Lời giải chi tiết

Gọi \(x,y\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)\) lần lượt là số thuyền loại A, loại B cơ sở đóng được trong một tuần.

Cơ sở chỉ bố trí được tối đa 120 giờ lao động nên ta có \(10x + 15y \le 120\) hay \(2x + 3y - 24 \le 0\).

Mỗi tuần cơ sở bán được tối đa 6 thuyền loại A nên ta có \(x \le 6\).

Mỗi tuần cơ sở bán được tối thiểu 2 thuyền loại B nên ta có \(y \ge 2\).

Lợi nhuận thu được là \(F = 0,5x + 0,7y\) (triệu đồng).

Từ đó, ta cần giải bài toán quy hoạch tuyến tính: \(F = 0,5x + 0,7y \to \max \) với ràng buộc \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 24 \le 0\\x \ge 0\\x \le 6\\y \ge 2\end{array} \right.\)

Tập phương án \({\Omega }\) là miền tứ giác \(ABCD\).

Ta có \(A\left( {0;2} \right),B\left( {0;8} \right),D\left( {6;0} \right)\).

Toạ độ \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} + 3y = 24\\x = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 4\end{array} \right.\). Vậy \(C\left( {6;4} \right)\).

Giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\):

\(F\left( {0;2} \right) = 1,4;F\left( {0;8} \right) = 5,6;F\left( {6;4} \right) = 5,8;F\left( {6;2} \right) = 4,4\)

Do đó: \(\mathop {\max }\limits_{\Omega } F = F\left( {6;4} \right) = 5,8\).

Vậy mỗi tuần cơ sở nên đóng 6 thuyền loại A và 4 thuyền loại B để có thể thu được lợi nhuận cao nhất.