Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2019 - 2020 trường THCS & THPT Nguyễn Tất Thành

Câu 1. Hàm số $y = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x + 3$ nghịch biến trên những khoảng nào?

A. $\left( {2; + \infty } \right).$

B. $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right).$

C. $\left( { - \infty ;1} \right).$

D. $\left( {1;2} \right).$

Câu 2. Cho số phức $z = 2 - 5i.$ Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp $\bar z$ là

A. Phần thực bằng 2, phần ảo bằng $5.$

B. Phần thực bằng 2, phần ảo bằng $- 5i.$

C. Phần thực bằng 2, phần ảo bằng $5i.$

D. Phần thực bằng 2, phần ảo bằng $- 5.$

Câu 3. Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz,$ khoảng cách từ điểm $M(1;2; - 3)$ đến mặt phẳng $(P):x + 2y - 2z - 2 = 0$ là

A. $d\left( {M,(P)} \right) = 1.$

B. $d\left( {M,(P)} \right) = \frac{1}{3}.$

C. $d\left( {M,(P)} \right) = 3.$

D. $d\left( {M,(P)} \right) = \frac{{11}}{3}.$

Câu 4. Cho hàm số $y = \frac{{1 - 2x}}{{x + 1}}$ có đồ thị $\left( C \right).$ Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\left( C \right)$ có tiệm cận ngang là $y =  - 1.$

B. $\left( C \right)$ có tiệm cận ngang là $y =  - 2.$

C. $\left( C \right)$ có hai tiệm cận

D. $\left( C \right)$ có tiệm cận đứng.

Câu 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$:$\,2x - y + 3z - 1 = 0.$ Véctơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$

A. $\vec n = \left( {2;1;3} \right).$

B. $\vec n = \left( { - 4;2; - 6} \right).$

C. $\vec n = \left( {2;1; - 3} \right).$

D. $\vec n = \left( { - 2;1;3} \right).$

Câu 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, mặt bên $\left( {SAB} \right)$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:

A. ${V_{S.ABCD}} = {a^3}\sqrt 3 .$

B. ${V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}}}{3}.$

C. ${V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}.$

D. ${V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}$.

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ, điểm $M\left( { - 3;2} \right)$ là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?

A. $z = 3 + 2i.$

B. $z =  - 3 + 2i.$

C. $z =  - 3 - 2i.$

D. $z = 3 - 2i.$

Câu 8. Đạo hàm của hàm số $y = {2^{\sin x}}$ là:

A. $y' =  - \cos x{.2^{\sin x}}.\ln 2.$

B. $y' = \cos x{.2^{\sin x}}.\ln 2.$

C. $y' = {2^{\sin x}}.\ln 2.$

D. $y' = \frac{{\cos x{{.2}^{\sin x}}}}{{\ln 2}}.$

Câu 9. Cho khối nón đỉnh $S$ só độ dài đường sinh là $a,$ góc giữa đường sinh và mặt đáy là $60^\circ .$ Thể tích khối nón là

A. $V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}.$

B. $V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{8}.$

C. $V = \frac{{\pi {a^3}}}{8}.$

D. $V = \frac{{3\pi {a^3}}}{8}.$

Câu 10. Số nghiệm của phương trình ${2^{{x^2} - 2x + 1}} = 1$  là:

A. $0$.                         B. 1.

C. 4.                              D. 2.

Câu 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y - z + 2 = 0,$ $\left( Q \right):2x - y + z + 1 = 0.$ Góc giữa $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ là

A. $60^\circ .$              B. $90^\circ .$

C. $30^\circ .$              D. $120^\circ .$

Câu 12. Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _2}x < 0$ là

A. $\left( {0; + \infty } \right).$                      B. $\left( {0;1} \right).$

C. $\left( { - \infty ;1} \right).$                       D. $\left( {1; + \infty } \right).$

Câu 13. Cho hàm số $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $K.$ Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = F\left( x \right) + C.$

B. ${\left( {\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right)^\prime } = f\left( x \right).$

C. ${\left( {\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right)^\prime } = F'\left( x \right).$

D. ${\left( {x\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right)^\prime } = f'\left( x \right).$

Câu 14. Trên $\mathbb{C}$ phương trình $\frac{2}{{z - 1}} = 1 + i$ có nghiệm là:

A. $z = 2 - i.$                B. $z = 1 - 2i.$

C. $z = 1 + 2i.$             D. $z = 2 + i.$

Câu 15. Nguyên hàm $\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {1 - x} }}}$  bằng

A. $\sqrt {1 - x}  + C.$

B. $\frac{C}{{\sqrt {1 - x} }}$.

C. $- 2\sqrt {1 - x}  + C.$

D. $\frac{2}{{\sqrt {1 - x} }} + C.$

Câu 16. Phương trình đường thẳng $\Delta$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha  \right):\,\,\,x + 2y + z - 1 = 0$ và $\left( \beta  \right):\,\,\,x - y - z + 2 = 0$ là:

A.$\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 1 - 2t\\z = 3t.\end{array} \right.$

B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 2t\\z =  - 1 - 3t.\end{array} \right.$

C. $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - t\\y = 1 - 2t\\z = 3t.\end{array} \right.$

D. $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - 3t\\y = 1 + 2t\\z = t.\end{array} \right.$

Câu 17. Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và trên $\left[ {0;\,1} \right]$ ta có $f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 2.$ Tích phân $I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}$ bằng

A. $I = 0.$                    B. $I = 2.$

C. $I =  - 1.$                 D. $I = 1.$

Câu 18. Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B,$ $AB = a\sqrt 5 .$ Góc giữa đường thẳng $A'B$ và mặt đáy là $60^\circ .$ Thể tích lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là:

A. $15{a^3}\sqrt 5 .$    B. $5{a^3}\sqrt 3 .$

C. $\frac{{5{a^3}\sqrt {15} }}{2}.$              D. $15{a^3}\sqrt 3 .$

Câu 19. Trong không gian tọa độ $Oxyz,$ đường thẳng đi qua điểm $A\left( {3; - 2;4} \right)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;6} \right)$ có phương trình

A. $\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{6}$.

B. $\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 4}}{6}$.

C. $\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{6}$.

D. $\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 6}}{4}$.

Câu 20. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( {2;3; - 6} \right)$ và bán kính $R = 4$ có phương trình là

A. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 6} \right)^2} = 4.$

B. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 6} \right)^2} = 16.$

C. ${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 16.$

D. ${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 4.$

Câu 21. Nếu $\int\limits_0^m {\left( {2x - 1} \right){\rm{d}}x}  = 2$ thì $m$ có giá trị là

A. $\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2.\end{array} \right.$

B. $\left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m =  - 2.\end{array} \right.$

C. $\left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m = 2.\end{array} \right.$

D. $\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 2.\end{array} \right.$

Câu 22. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho vật thể $\left( H \right)$ giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình $x = a$ và $x = b$$\left( {a < b} \right)$. Gọi $S\left( x \right)$ là diện tích thiết diện của $\left( H \right)$ bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$tại điểm có hoành độ là $x,$ với $a \le x \le b$. Giả sử hàm số $y = S\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right].$ Khi đó, thể tích $V$ của vật thể $\left( H \right)$ được cho bởi công thức:

A. $V = \int\limits_a^b {S\left( x \right){\rm{d}}x} .$

B. $V = \pi \int\limits_a^b {S\left( x \right){\rm{d}}x} .$

C. $V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {S\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} .$

D. $V = \int\limits_a^b {{{\left[ {S\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} .$

Câu 23. Một vật chuyển động với vận tốc $v\left( t \right)\left( {m/s} \right)$ và có gia tốc $a\left( t \right) = \frac{3}{{t + 1}}\left( {m/{s^2}} \right).$ Vận tốc ban đầu của vật là $6\left( {m/s} \right).$ Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây là bao nhiêu?

A. $3\ln 11 - 6.$

B. $3\ln 6 + 6.$

C. $2\ln 11 + 6.$

D. $3\ln 11 + 6.$

Câu 24. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}.$ Khẳng nào sau đây đúng?

A. Nếu hàm số có giá trị cực đại là $f\left( {{x_0}} \right)$ với ${x_0} \in \mathbb{R}$ thì $f\left( {{x_0}} \right) = \mathop {{\rm{Max}}}\limits_{x \in \mathbb{R}} f\left( x \right).$

B. Nếu hàm số có giá trị cực tiểu là $f\left( {{x_0}} \right)$ với ${x_0} \in \mathbb{R}$ thì tồn tại ${x_1} \in \mathbb{R}$ sao cho $f\left( {{x_0}} \right) < f\left( {{x_1}} \right).$

C. Nếu hàm số có giá trị cực đại là $f\left( {{x_0}} \right)$ với ${x_0} \in \mathbb{R}$ thì $f\left( {{x_0}} \right) = \mathop {{\rm{Min}}}\limits_{x \in \mathbb{R}} f\left( x \right).$

D. Nếu hàm số có giá trị cực tiểu là $f\left( {{x_0}} \right)$ với ${x_0} \in \mathbb{R}$ và có giá trị cực đại là $f\left( {{x_1}} \right)$ với ${x_1} \in \mathbb{R}$ thì $f\left( {{x_0}} \right) < f\left( {{x_1}} \right).$

Câu 25. Môđun của số phức $z = \left( {2 - 3i} \right){\left( {1 + i} \right)^4}$ là

A. $\left| z \right| = 4\sqrt {13} .$

B. $\left| z \right| = \sqrt {31} .$

C. $\left| z \right| = 208.$

D. $\left| z \right| = \sqrt {13} .$

Câu 26. Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = {{\rm{e}}^{2x}}$ và thỏa mãn $F\left( 0 \right) = 1$ là

A. $F\left( x \right) = {{\rm{e}}^{2x}}.$

B. $F\left( x \right) = \frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2} + \frac{1}{2}$.

C. $F\left( x \right) = 2{{\rm{e}}^{2x}} - 1.$

D. $F\left( x \right) = {{\rm{e}}^x}.$

Câu 27. Cho hàm số $y = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)$ có đồ thị $\left( C \right).$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại một điểm.

B. $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại ba điểm.

C. $\left( C \right)$ không cắt trục hoành.                       

 D. $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại hai điểm.

Câu 28. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z - i} \right| = \left| {2 - 3i - z} \right|$ là

A. Đường tròn có phương trình ${x^2} + {y^2} = 4.$

B. Đường thẳng có phương trình $x + 2y + 1 = 0.$

C. Đường thẳng có phương trình $x - 2y - 3 = 0.$

D. Đường elip có phương trình ${x^2} + 4{y^2} = 4.$

Câu 29. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $C,$ $AB = a\sqrt 5 ,$$AC = a.$ Cạnh bên $SA = 3a$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Thể tích khối chóp $S.ABC$  là:

A. ${a^3}.$                  B. $3{a^3}.$

C. $2{a^3}.$                D. $\frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{2}.$

Câu 30. Cho hàm số $y =  - {x^3} + 3x - 2$ có đồ thị $\left( C \right).$ Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại giao điểm của $\left( C \right)$ với trục tung là

A. $y =  - 3x - 2.$

B. $y = 2x + 1.$

C. $y =  - 2x + 1.$

D. $y = 3x - 2.$

Câu 31. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( {1; 2; 2} \right)$ và $B\left( {3; 0; 2} \right).$ Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ có phương trình là:

A. $x - y - z + 1 = 0.$

B. $x - y - 1 = 0.$

C. $x + y - z - 1 = 0.$

D. $x + y - 3 = 0.$

Câu 32. Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = a,$$AD = b,$$\,AA' = c$. Thể tích của khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$bằng bao nhiêu?

A. $abc.$                      B. $\frac{1}{2}abc.$

C. $\frac{1}{3}abc.$    D. $3abc.$

Câu 33. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng $2a\sqrt 3 .$ Biết $\widehat {BAD} = 120^\circ$ và hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAD} \right)$ cùng vuông góc với mặt đáy. Góc giữa mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ bằng $45^\circ .$ Khoảng cách $h$ từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ là

A. $h = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}.$

B. $h = \frac{{2a\sqrt 2 }}{3}.$

C. $h = 2a\sqrt 2 .$

D. $h = a\sqrt 3 .$

Câu 34. Giả sử ta có hệ thức ${a^2} + 4{b^2} = 5ab{\rm{ }}\left( {a,b > 0} \right).$ Hệ thức nào sau đây đúng?

A. $2{\log _3}\left( {a + 2b} \right) = {\log _3}a + {\log _3}b.$

B. $2{\log _3}\frac{{a + 2b}}{2} = {\log _3}a + 2{\log _3}b.$

C. ${\log _3}\frac{{a + 2b}}{3} = 2\left( {{{\log }_3}a + {{\log }_3}b} \right).$

D. $2{\log _3}\frac{{a + 2b}}{3} = {\log _3}a + {\log _3}b.$

Câu 35. Cho hình chữ nhật ABCD có AB=4 và AD=3. Thể tích của khối trụ được tạo thành khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB bằng

A.$36\pi .$                   B. $12\pi .$

C. $24\pi .$                   D. $48\pi .$

Câu 36. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $A\left( {1;2;3} \right).$ Tọa độ điểm ${A_1}$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là

A. ${A_1}\left( {1;2;0} \right).$

B. ${A_1}\left( {1;0;3} \right).$

C. ${A_1}\left( {0;2;3} \right).$

D. ${A_1}\left( {1;0;0} \right).$

Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( {1; - 2;0} \right)$ và $B\left( {4;1;1} \right).$ Độ dài đường cao $OH$ của tam giác $OAB$ là

A. $\sqrt {\frac{{86}}{{19}}} .$                    B. $\sqrt {\frac{{19}}{{86}}} .$

C. $\frac{1}{{\sqrt {19} }}.$                         D. $\frac{1}{2}\sqrt {\frac{{86}}{{19}}} .$

Câu 38. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ véctơ nào dưới đây vuông góc với cả hai véctơ $\vec u = \left( { - 1;0;2} \right),$ $\vec v = \left( {4;0; - 1} \right)$?

A. $\vec w = \left( {1;7;1} \right).$

B. $\vec w = \left( { - 1;7; - 1} \right).$

C. $\vec w = \left( {0;7;1} \right).$

D. $\vec w = \left( {0; - 1;0} \right).$

Câu 39. Cho $f\left( x \right)$ là một hàm số có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f\left( 1 \right) = 1$ và $\int\limits_0^1 {f\left( t \right){\rm{dt}}}  = \frac{1}{3}.$ Giá trị của tích phân $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x.f'\left( {\sin x} \right){\rm{d}}x}$ bằng:

A. $I = \frac{4}{3}$.    B. $I = \frac{2}{3}$.

C. $I = \frac{1}{3}$.    D. $I =  - \frac{2}{3}$.

Câu 40. Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz,$ mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( {1;\, - 3;\,3} \right)$ theo giao tuyến là đường tròn tâm $H\left( {2;\,0;\,1} \right),$ bán kính $r = 2.$ Phương trình của mặt cầu $\left( S \right)$ là

A. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 4.$

B. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18.$

C. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4.$ 

D. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 18.$

Câu 41. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào sau đây?

A. $y = {x^3} - 3x + 2.$

B. $y =  - {x^4} + 2{x^2} - 1.$

C. $y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}.$

D. $y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}.$

Câu 42. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho hai mặt phẳng $\left( P \right):\,\,\,3x - my - z + 7 = 0$ và $\left( Q \right):\,\,\,6x + 5y - 2z - 4 = 0$. Hai mặt phẳng $\left( P \right)$và $\left( Q \right)$ song song với nhau khi $m$ bằng

A. $m = \frac{{ - 5}}{2}.$

B. $m = \frac{5}{2}.$

C. $m =  - 30.$

D. $m = 4.$

Câu 43. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường $y = 4 - \left| x \right|$ và trục hoành là

A. $0$.                         B.$16$.

C. $8$.                         D. $4$.

Câu 44. Phương trình mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha  \right):2x - 3y + z - 2 = 0$ và chứa đường thẳng $d:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}$ là:

A. $3x + y - z + 3 = 0.$

B. $x + y + z - 1 = 0.$

C. $x - y + z - 3 = 0.$

D. $2x + y - z + 3 = 0.$

Câu 45. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ đường thẳng đi qua điểm $A\left( { - 2;4;3} \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $2x - 3y + 6z + 19 = 0$ có phương trình là

A. $\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 3}}{4} = \frac{{z + 6}}{3}$

B. $\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{6}$.

C. $\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 3}}{4} = \frac{{z - 6}}{3}$.

D. $\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 4}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{6}$.

Câu 46. Nếu $\int\limits_2^3 {\frac{{x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}}{\rm{d}}x = a\ln 5 + b\ln 3 + 3\ln 2}$$\left( {a,b \in \mathbb{Q}} \right)$ thì giá trị của $P = 2a - b$ là

A. $P = 7.$

B. $P =  - \frac{{15}}{2}.$

C. $P = \frac{{15}}{2}.$

D. $P = 1.$

Câu 47. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $M\left( {0;\;2;\;0} \right)$ và đường thẳng $d:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 3t\\y = 2 + t\\z =  - 1 + t.\end{array} \right.$  Đường thẳng đi qua $M$ cắt và vuông góc với $d$có phương trình là

A. $\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{2}.$

B. $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{{ - 2}}.$

C. $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{2}$

D. $\frac{x}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{2}.$

Câu 48. Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f\left( x \right) > 0,$ $\forall x \in \mathbb{R}.$ Cho biết $f\left( 0 \right) = 1$ và $\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = 2 - 2x.$ Tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $f\left( x \right) = m$ có hai nghiệm thực phân biệt là:

A. $0 < m < e.$

B. $1 < m < e.$

C. $m > e.$

D. $0 < m \le 1.$

Câu 49. Cho biết ${x_1}$, ${x_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${\log _7}\left( {\frac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}} \right) + 4{x^2} + 1 = 6x$ và giả sử $x{{\kern 1pt} _1} + 2{x_2} = \frac{1}{4}\left( {a + \sqrt b } \right)$ với $a,$ $b$ là hai số nguyên dương. Khi đó $a + b$ bằng

A. $a + b = 14.$

B. $a + b = 13.$

C. $a + b = 16.$

D. $a + b = 11.$

Câu 50. Cho $f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} - 4x + 5}} - \frac{{{x^2}}}{4} + x$. Gọi $M = \mathop {Max}\limits_{x \in \left[ {0;3} \right]} f\left( x \right);m = \mathop {Min}\limits_{x \in \left[ {0;3} \right]} f\left( x \right).$ Khi đó$M-m$ bằng:

A. $1$.                         B. $\frac{3}{5}.$

C. $\frac{7}{5}.$ D. $\frac{9}{5}.$

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN LOIGIAIHAY.COM

Câu 1 (NB) – Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Phương pháp:

- Tính $y'$.

- Giải bất phương trình $y' < 0$ và suy ra các khoảng nghịch biến của hàm số.

Cách giải:

Ta có: $y' = 6{x^2} - 18x + 12$.

$\begin{array}{l}y' < 0\\ \Leftrightarrow 6{x^2} - 18x + 12 < 0\\ \Leftrightarrow 1 < x < 2\end{array}$.

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên $\left( {1;2} \right)$.

Chọn D.

Câu 2 (NB) – Số phức

Phương pháp:

- Số phức $z = a + bi$ có số phức liên hợp $\bar z = a - bi$.

- Số phức $z = a + bi$ có phần thực bằng $a$, phần ảo bằng $b$.

Cách giải:

$z = 2 - 5i \Rightarrow \bar z = 2 + 5i$.

Vậy số phức $\bar z$ có phần thực bằng 2, phần ảo bằng $5.$

Chọn A.

Câu 3 (NB) – Phương trình mặt phẳng

Phương pháp:

Khoảng cách từ điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0$ là:

$d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

Cách giải:

$d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 - 2.\left( { - 3} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}$$= \frac{9}{3} = 3$.

Chọn C.

Câu 4 (NB) – Đường tiệm cận

Phương pháp:

Đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\left( {ad \ne bc} \right)$ có TCĐ $x =  - \frac{d}{c}$ và TCN $y = \frac{a}{c}$.

Cách giải:

Ta có: $y = \frac{{1 - 2x}}{{x + 1}} = \frac{{ - 2x + 1}}{{x + 1}}$.

Đồ thị hàm số có TCĐ $x =  - 1$ và TCN $y =  - 2$.

Chọn A.

Câu 5 (NB) – Phương trình mặt phẳng

Phương pháp:

- Mặt phẳng $\left( \alpha  \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$.

- Mọi vectơ cùng phương với $\overrightarrow n$ đều là 1 VTPT của $\left( \alpha  \right)$.

Cách giải:

Mặt phẳng $\,2x - y + 3z - 1 = 0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  = \left( {2; - 1;3} \right)$.

Dựa vào các đáp án ta thấy đáp án B, $\vec n = \left( { - 4;2; - 6} \right) =  - 2\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}$.

Vậy $\vec n = \left( { - 4;2; - 6} \right)$ cũng là 1 VTPT của $\left( \alpha  \right)$.

Chọn B.

Câu 6 (TH) – Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Phương pháp:

- Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, chứng minh $SH \bot \left( {ABCD} \right)$.

- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp đường cao $h$, diện tích đáy $B$ là $V = \frac{1}{3}Bh$.

Cách giải:

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, do $\Delta SAB$ đều cạnh $AB = a$ nên $SH \bot AB$ và $SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right),\,\,SH \bot AB\end{array} \right.$ $\Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)$.

Vậy ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}$$= \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$.

Chọn C.

Câu 7 (NB) – Số phức

Phương pháp:

Trong mặt phẳng tọa độ, điểm $M\left( {a;b} \right)$ là điểm biểu diễn của số phức $z = a + bi$.

Cách giải:

Trong mặt phẳng tọa độ, điểm $M\left( { - 3;2} \right)$ là điểm biểu diễn của số phức $z =  - 3 + 2i.$

Chọn B.

Câu 8 (TH) – Hàm số mũ

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính đạo hàm $\left( {{a^u}} \right)' = u'.{a^u}.\ln a$.

Cách giải:

$y = {2^{\sin x}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y' = \left( {\sin x} \right)'{.2^{\sin x}}\ln 2\\ = \cos x{.2^{\sin x}}.\ln 2.\end{array}$

Chọn B.

Câu 9 (TH) – Mặt nón

Phương pháp:

- Xác định góc giữa đường sinh và mặt đáy.

- Sử dụng tỉ số lượng giác tính chiều cao và bán kính đáy của hình nón.

- Thể tích khối nón có chiều cao $h$, bán kính đáy $r$ là $V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h$.

Cách giải:

Gọi $O$ là tâm đáy hình nón và $SA$ là một đường sinh bất kì $\Rightarrow SA = l = a$.

Khi đó ta có góc giữa $SA$ và mặt đáy là $\angle SAO = {60^0}$.

Xét $\Delta SAO$ có: $SO = SA.\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = h$, $OA = SA.\cos {60^0} = \frac{a}{2} = r$.

Vậy thể tích khối nón là $V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h$$= \frac{1}{3}\pi .{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}$.

Chọn A.

Câu 10 (TH) – Phương trình mũ và phương trình lôgarit

Phương pháp:

- Giải phương trình mũ: ${a^{f\left( x \right)}} = b \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^b}$.

- Giải phương trình bậc hai và kết luận số nghiệm của phương trình.

Cách giải:

$\begin{array}{l}{2^{{x^2} - 2x + 1}} = 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = {\log _2}1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Chọn B.

Câu 11 (TH) – Phương trình mặt phẳng

Phương pháp:

Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ là $\cos \angle \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}$ với $\overrightarrow {{n_P}} ,\,\,\overrightarrow {{n_Q}}$ lần lượt là 1 VTPT của mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.

Cách giải:

Mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y - z + 2 = 0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow {{n_P}} \left( {1; - 2; - 1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( Q \right):x - 2y - z + 2 = 0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow {{n_Q}} \left( {2; - 1;1} \right)$.

Khi đó ta có: $\cos \angle \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}$$= \frac{{\left| {1.2 - 2.\left( { - 1} \right) - 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }}$$= \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Vậy $\angle \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = {60^0}$.

Chọn A.

Câu 12 (NB) – Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Phương pháp:

Giải bất phương trình logarit: ${\log _a}x < b \Leftrightarrow x < {a^b}\,\,\left( {a > 1} \right)$.

Cách giải:

ĐKXĐ: $x > 0$.

Ta có: ${\log _2}x < 0 \Leftrightarrow x < {2^0} = 1$.

Kết hợp điều kiện xác định ta có $0 < x < 1$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( {0;1} \right)$.

Chọn B.

Câu 13 (TH) – Nguyên hàm

Phương pháp:

Nếu hàm số $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên khoảng  thì $F\left( x \right) + C = \int {f\left( x \right)dx}$.

Cách giải:

Nếu hàm số $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên khoảng  thì $F\left( x \right) + C = \int {f\left( x \right)dx}$. Suy ra khẳng định A đúng.

Khi đó ta có $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$.

Ta lại có $\left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)' = f\left( x \right) = F'\left( x \right)$. Suy ra khẳng định B, C đúng.

Chọn D.

Câu 14 (TH) – Phép chia số phức

Phương pháp:

Thực hiện phép chia số phức.

Cách giải:

$\begin{array}{l}\frac{2}{{z - 1}} = 1 + i\\ \Leftrightarrow z - 1 = \frac{2}{{1 + i}}\\ \Leftrightarrow z - 1 = 1 - i\\ \Leftrightarrow z = 2 - i\end{array}$.

Chọn A.

Câu 15 (TH) – Nguyên hàm

Phương pháp:

Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng : $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {ax + b} }}}  = \frac{2}{a}\sqrt {ax + b}  + C$.

Cách giải:

$\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {1 - x} }}}  = \frac{2}{{ - 1}}\sqrt {1 - x}  + C$$=  - 2\sqrt {1 - x}  + C$.

Chọn C.

Câu 16 (TH) – Phương trình đường thẳng trong không gian

Phương pháp:

- Xác định hai điểm thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y + z - 1 = 0\\x - y - z + 2 = 0\end{array} \right.$.

- Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.

- Phương trình đường thẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)$ là : $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.$.

Cách giải:

Xét hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y + z - 1 = 0\\x - y - z + 2 = 0\end{array} \right.$.

Cho $z = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 1\\x - y =  - 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right.$

$\Rightarrow A\left( { - 1;1;0} \right) \in \Delta$.

Cho $z = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y =  - 1\\x - y = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{3}\\y =  - \frac{1}{3}\end{array} \right.$

$\Rightarrow B\left( { - \frac{1}{3}; - \frac{1}{3};2} \right) \in \Delta$.

Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( {\frac{2}{3}; - \frac{4}{3};2} \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow u  = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2;3} \right)$ là 1 VTCP của $\Delta$.

Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ là : $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 1 - 2t\\z = 3t.\end{array} \right.$.

Chọn A.

Câu 17 (TH) – Tích phân

Phương pháp:

Sử dụng công thức tích phân Newton-Leibniz: Nếu $F\left( x \right)$ là 1 nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ thì $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) - F\left( a \right)$.

Cách giải:

Ta có $f\left( x \right)$ là 1  nguyên hàm của hàm số $f'\left( x \right)$ nên $I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x}$$= f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 2$.

Chọn B.

Câu 18 (TH) – Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Phương pháp:

- Góc giữa đường và mặt là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng kia.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao của khối lăng trụ.

- Khối lăng trụ có chiều cao $h$, diện tích đáy $B$ có thể tích $V = Bh$.

Cách giải:

Ta có $BB' \bot \left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow A'B'$ là hình chiếu của $A'B$ lên $\left( {A'B'C'} \right)$.

$\Rightarrow \angle \left( {A'B;\left( {A'B'C'} \right)} \right)$$= \angle \left( {A'B;A'B'} \right) = \angle BA'B' = {60^0}$.

Xét ${\Delta _v}A'BB'$ có: $BB' = A'B'.\tan {60^0}$$= a\sqrt 5 .\sqrt 3  = a\sqrt {15}$.

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}A{B^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}$.

Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = BB'.{S_{ABC}}$$= a\sqrt {15} .\frac{{5{a^2}}}{2} = \frac{{5\sqrt {15} {a^3}}}{2}$.

Chọn C.

Câu 19 (NB) – Phương trình đường thẳng trong không gian

Phương pháp:

Đường thẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)$ có phương trình $\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}$.

Cách giải:

Trong không gian tọa độ $Oxyz,$ đường thẳng đi qua điểm $A\left( {3; - 2;4} \right)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;6} \right)$ có phương trình là: $\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{6}$.

Chọn A.

Câu 20 (NB) – Phương trình mặt cầu

Phương pháp:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính $R$ có phương trình là ${\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}.$

Cách giải:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( {2;3; - 6} \right)$ và bán kính $R = 4$ có phương trình là ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 6} \right)^2} = 16.$

Chọn B.

Câu 21 (TH) – Tích phân

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: $\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {n \ne  - 1} \right)$.

Cách giải:

$\begin{array}{l}\int\limits_0^m {\left( {2x - 1} \right){\rm{d}}x}  = 2\\ \Leftrightarrow \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_0^m = 2\\ \Leftrightarrow {m^2} - m = 2\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 2\end{array} \right.\end{array}$

Chọn D.

Câu 22 (NB) – Ứng dụng của tích phân trong hình học

Phương pháp:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho vật thể $\left( H \right)$ giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình $x = a$ và $x = b$$\left( {a < b} \right)$. Gọi $S\left( x \right)$ là diện tích thiết diện của $\left( H \right)$ bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$tại điểm có hoành độ là $x,$ với $a \le x \le b$. Giả sử hàm số $y = S\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right].$ Khi đó, thể tích $V$ của vật thể $\left( H \right)$ được cho bởi công thức: $V = \int\limits_a^b {S\left( x \right){\rm{d}}x} .$.

Cách giải:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho vật thể $\left( H \right)$ giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình $x = a$ và $x = b$$\left( {a < b} \right)$. Gọi $S\left( x \right)$ là diện tích thiết diện của $\left( H \right)$ bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$tại điểm có hoành độ là $x,$ với $a \le x \le b$. Giả sử hàm số $y = S\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right].$ Khi đó, thể tích $V$ của vật thể $\left( H \right)$ được cho bởi công thức: $V = \int\limits_a^b {S\left( x \right){\rm{d}}x} .$.

Chọn A.

Câu 23 (TH) – Nguyên hàm

Phương pháp:

- Tính vận tốc của vật $v = \int {a\left( t \right)dt}$.

- Sử dụng giả thiết $v\left( 0 \right) = 6$ tìm $C$.

- Tính $v\left( {10} \right)$.

Cách giải:

Ta có: $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt}$$= \int {\frac{3}{{t + 1}}dt}  = 3\ln \left| {t + 1} \right| + C$.

Theo bài ra ta có: $v\left( 0 \right) = 6$$\Leftrightarrow 6\ln 1 + C = 6 \Leftrightarrow C = 6$.

Khi đó $v = 3\ln \left| {t + 1} \right| + 6$.

Vậy vận tốc của vật sau 10 giây là: $v\left( {10} \right) = 3\ln 11 + 6\,\,\left( {m/s} \right)$.

Chọn D.

Câu 24 (TH) – Cực trị của hàm số

Phương pháp:

Dựa vào lý thuyết cực trị của hàm số.

Cách giải:

Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đáp án B đúng: Nếu hàm số có giá trị cực tiểu là $f\left( {{x_0}} \right)$ với ${x_0} \in \mathbb{R}$ thì tồn tại ${x_1} \in \mathbb{R}$ sao cho $f\left( {{x_0}} \right) < f\left( {{x_1}} \right).$

Chọn B.

Câu 25 (TH) – Cộng, trừ và nhân số phức

Phương pháp:

- Nhân các số phức, đưa số phức $z$ về dạng $z = a + bi$ .

- Sử dụng công thức tính môđun số phức $z = a + bi$$\Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$.

Cách giải:

$\begin{array}{l}z = \left( {2 - 3i} \right){\left( {1 + i} \right)^4}\\z = \left( {2 - 3i} \right){\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]^2}\\z = \left( {2 - 3i} \right){\left( {1 + 2i + {i^2}} \right)^2}\\z = \left( {2 - 3i} \right).{\left( {2i} \right)^2}\\z = \left( {2 - 3i} \right).\left( { - 4} \right)\\z =  - 8 + 12i\end{array}$

Vậy $\left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - 8} \right)}^2} + {{12}^2}}$$= \sqrt {208}  = 4\sqrt {13}$.

Chọn A.

Câu 26 (TH) – Nguyên hàm

Phương pháp:

- Sử dụng công thức tính nguyên hàm: $\int {{e^{ax + b}}dx}  = \frac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C$.

- Thay $F\left( 0 \right) = 1$ để tìm hằng số $C$.

Cách giải:

Ta có: $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}$$= \int {{e^{2x}}dx}  = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + C$ .

Lại có

$\begin{array}{l}F\left( 0 \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{{e^0}}}{2} + C = 1\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} + C = 1 \Leftrightarrow C = \frac{1}{2}\end{array}$.

Vây $F\left( x \right) = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + \frac{1}{2}$.

Chọn B.

Câu 27 (TH) – Tương giao đồ thị hàm số và biện luận nghiệm của phương trình

Phương pháp:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm của hàm số $y = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)$ và trục hoành.

- Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của $\left( C \right)$ và trục hoành.

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ (do ${x^2} + 1 > 0\,\,\,\forall x$).

Vậy $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại một điểm.

Chọn A.

Câu 28 (VD) – Bài toán quỹ tích số phức

Phương pháp:

- Gọi $z = x + yi$ .

- Thay vào giả thiết, biến đổi và suy ra phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa $x$ và $y$.

- Sử dụng công thức tính môđun số phức: $z = a + bi$$\Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$ .

Cách giải:

Đặt $z = x + yi$, theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\left| {z - i} \right| = \left| {2 - 3i - z} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi - i} \right| = \left| {2 - 3i - x - yi} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {\left( {2 - x} \right) - \left( {3 + y} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {2 - x} \right)^2} + {\left( {3 + y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y + 1\\ = {x^2} - 4x + 4 + {y^2} + 6y + 9\\ \Leftrightarrow 4x - 8y - 12 = 0\\ \Leftrightarrow x - 2y - 3 = 0\end{array}$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z - i} \right| = \left| {2 - 3i - z} \right|$ là đường thẳng có phương trình $x - 2y - 3 = 0.$

Chọn C.

Câu 29 (TH) – Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Phương pháp:

- Sử dụng định lí Pytago tính độ dài cạnh $BC$.

- Tính diện tích tam giác $ABC$ vuông tại $C$: ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC.BC$.

- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp $V = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}}$.

Cách giải:

Áp dụng định lí Pytago ta có: $BC = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}}$$= \sqrt {5{a^2} - {a^2}}  = 2a$ .

$\Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC.BC = \frac{1}{2}.a.2a = {a^2}$.

Vậy ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}}$$= \frac{1}{3}.3a.{a^2} = {a^3}$ .

Chọn A.

Câu 30 (TH) – Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Phương pháp:

- Cho $x = 0$ xác định giao điểm của $\left( C \right)$ và trục tung.

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x = {x_0}$ là:

$y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)$.

Cách giải:

Cho $x = 0 \Rightarrow y =  - 2$, suy ra giao điểm của $\left( C \right)$ với trục tung là $M\left( {0; - 2} \right)$.

Ta có: $y' =  - 3{x^2} + 3 \Rightarrow y'\left( 0 \right) = 3$.

Vậy phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M\left( {0; - 2} \right)$ là: $y = 3\left( {x - 0} \right) - 2$$\Leftrightarrow y = 3x - 2$.

Chọn D.

Câu 31 (TH) – Phương trình mặt phẳng

Phương pháp:

- Tìm tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$: $\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.$.

- Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ đi qua $I$ và nhận $\overrightarrow {AB}$ là 1 VTPT.

- Phương trình mặt phẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTPT $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ có phương trình là:

$A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right)$$= 0$

Cách giải:

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ ta có $I\left( {2;1;2} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 2;0} \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow n  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 1;0} \right)$ là 1 VTPT của mặt phẳng trung trực của $AB$.

Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của $AB$ là:

$1\left( {x - 2} \right) - 1\left( {y - 1} \right) + 0\left( {z - 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow x - y - 1 = 0$.

Chọn B.

Câu 32 (NB) – Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Phương pháp:

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = a,$$AD = b,$$\,AA' = c$ $\Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = abc$.

Cách giải:

Khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = a,$$AD = b,$$\,AA' = c$ $\Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = abc$.

Chọn A.

Câu 33 (VD) – Khoảng cách (Toán 11)

Phương pháp:

- Sử dụng định lí: $\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( R \right)\\\left( Q \right) \bot \left( R \right)\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( R \right)$.

- Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, trong $\left( {SAM} \right)$ kẻ $AH \bot SM$, chứng minh $AH \bot \left( {SBC} \right)$.

- Xác định góc giữa $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính khoảng cách.

Cách giải:

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\end{array} \right.$$\Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)$ .

Vì $\angle BAD = {120^0} \Rightarrow \angle ABC = {60^0}$ $\Rightarrow \Delta ABC$ đều cạnh $2a\sqrt 3$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC \Rightarrow AM \bot BC$ và $AM = 2a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 3a$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)$.

Trong $\left( {SAM} \right)$ kẻ $AH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SM\\AH \bot BC\,\,\left( {BC \bot \left( {SAM} \right)} \right)\end{array} \right.$$\Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)$

$\Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH$.

Vì $BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM$, khi đó ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\SM \subset \left( {SBC} \right),\,\,SM \bot BC\\AM \subset \left( {ABCD} \right),\,\,AM \bot BC\end{array} \right.$

$\Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)$$= \angle \left( {SM;AM} \right) = \angle SAM = {45^0}$ .

Xét tam giác vuông $AHM$ có $AH = AM.\sin {45^0}$$= 3a.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}$ .

Vậy $d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}$.

Chọn A.

Câu 34 (VD) – Lôgarit

Phương pháp:

- Thêm cả 2 vế với $4ab$ để tạo hằng đẳng thức.

- Sử dụng các công thức:

   $\begin{array}{l}{\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\\\left( {0 < a \ne 1,\,\,x,\,\,y > 0} \right)\\{\log _a}{x^m} = m{\log _a}x\\\left( {0 < a \ne 1,\,\,x > 0} \right)\\{\log _a}x - {\log _a}y = {\log _a}\frac{x}{y}\\\left( {0 < a \ne 1,\,\,x,\,\,y > 0} \right)\end{array}$

Cách giải:

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}{a^2} + 4{b^2} = 5ab\\ \Leftrightarrow {a^2} + 4ab + 4{b^2} = 9ab\\ \Leftrightarrow {\left( {a + 2b} \right)^2} = 9ab\end{array}$

Lấy logarit cơ số 3 hai vế phương trình ta có:

$\begin{array}{l}{\log _3}{\left( {a + 2b} \right)^2} = {\log _3}\left( {9ab} \right)\,\,\left( {a,\,\,b > 0} \right)\\ \Leftrightarrow 2{\log _3}\left( {a + 2b} \right) = {\log _3}9 + {\log _3}a + {\log _3}b\\ \Leftrightarrow 2{\log _3}\left( {a + 2b} \right) = 2 + {\log _3}a + {\log _3}b\\ \Leftrightarrow 2{\log _3}\left( {a + 2b} \right) - 2 = {\log _3}a + {\log _3}b\\ \Leftrightarrow 2\left[ {{{\log }_3}\left( {a + 2b} \right) - {{\log }_3}3} \right] = {\log _3}a + {\log _3}b\\ \Leftrightarrow 2{\log _3}\frac{{a + 2b}}{3} = {\log _3}a + {\log _3}b\end{array}$

Chọn D.

Câu 35 (TH) – Mặt trụ

Phương pháp:

- Khi quay hình chữ nhật $ABCD$ quanh cạnh $AB$ ta được khối trụ có chiều cao $h = AB$, bán kính đáy $r = AD$.

- Thể tích khối trụ có chiều cao $h$, bán kính đáy $r$ là $V = \pi {r^2}h$.

Cách giải:

Khi quay hình chữ nhật $ABCD$ quanh cạnh $AB$ ta được khối trụ có chiều cao $h = AB = 4$, bán kính đáy $r = AD = 3$.

Vậy thể tích khối trụ là $V = \pi {r^2}h = \pi {.3^2}.4 = 36\pi$.

Chọn A.

Câu 36 (NB) – Hệ tọa độ trong không gian

Phương pháp:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $A\left( {a;b;c} \right)$ Tọa độ điểm ${A_1}$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là ${A_1}\left( {0;b;c} \right)$.

Cách giải:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $A\left( {1;2;3} \right).$ Tọa độ điểm ${A_1}$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là ${A_1}\left( {0;2;3} \right).$.

Chọn C.

Câu 37 (TH) – Phương trình đường thẳng trong không gian

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $\Delta$: $d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {M{M_o}} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}$ với ${M_0}$ là điểm bất kì thuộc đường thẳng $\Delta$, $\overrightarrow u$ là 1 VTCP của đường thẳng $\Delta$.

Cách giải:

Ta có: $\overrightarrow {OA}  = \left( {1; - 2;0} \right)$, $\overrightarrow {AB}  = \left( {3;3;1} \right)$.

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 2; - 1;9} \right)$

$\Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {AB} } \right]} \right|$$= \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {9^2}}  = \sqrt {86}$

Vậy $OH = d\left( {O;AB} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}}$$= \frac{{\sqrt {86} }}{{\sqrt {{3^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \sqrt {\frac{{86}}{{19}}}$ .

Chọn A.

Câu 38 (TH) – Hệ tọa độ trong không gian

Phương pháp:

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  \bot \overrightarrow w \\\overrightarrow v  \bot \overrightarrow w \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow w$  cùng phương với $\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right]$.

Cách giải:

Ta có: $\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right] = \left( {0;7;0} \right)$.

Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có vectơ $\vec w = \left( {0; - 1;0} \right)$ cùng phương với $\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right]$.

Vậy $\vec w = \left( {0; - 1;0} \right)$ vuông góc với cả hai véctơ $\vec u = \left( { - 1;0;2} \right),$ $\vec v = \left( {4;0; - 1} \right)$.

Chọn D.

Câu 39 (VD) – Tích phân

Phương pháp:

- Đổi biến số, đặt $t = \sin x$.

- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: $\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu}$.

Cách giải:

Ta có: $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x.f'\left( {\sin x} \right){\rm{d}}x}$$= 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x\cos x.f'\left( {\sin x} \right){\rm{d}}x}$.

Đặt $t = \sin x \Rightarrow du = \cos xdx$.

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.$, khi đó ta có $I = 2\int\limits_0^1 {tf'\left( t \right)dt}$.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = t\\dv = f'\left( t \right)dt\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = f\left( t \right)\end{array} \right.$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = 2\left( {\left. {tf\left( t \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} } \right)\\ \Leftrightarrow I = 2\left( {f\left( 1 \right) - \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} } \right)\\ \Leftrightarrow I = 2\left( {1 - \frac{1}{3}} \right) = \frac{4}{3}\end{array}$

Chọn A.

Câu 40 (TH) – Phương trình mặt cầu

Phương pháp:

- Tính độ dài đoạn thẳng:

$IH =$$\sqrt {{{\left( {{x_H} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_H} - {y_I}} \right)}^2} + {{\left( {{z_H} - {z_I}} \right)}^2}}$ .

- Áp dụng định lí Pytago tính bán kính $R$ của mặt cầu $\left( S \right)$: $R = \sqrt {I{H^2} + {r^2}}$.

- Phương trình mặt cầu tâm $I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ bán kính $R$ có phương trình là:

${\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}$.

Cách giải:

Ta có: $IH = \sqrt {{1^2} + {3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {14}$.

Theo bài ra ta có $AH = r = 2$, áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $IAH$ có:

$IA = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}}$$= \sqrt {14 + 4}  = \sqrt {18}  = 3\sqrt 2$.

$\Rightarrow$ Bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$ là $R = IA = 3\sqrt 2$.

Vậy phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18.$

Chọn B.

Câu 41 (TH) – Đường tiệm cận

Phương pháp:

- Nhận dạng loại đồ thị hàm số và loại đáp án.

- Đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\left( {ac \ne bd} \right)$ có TCN $y = \frac{a}{c}$, TCĐ $x =  - \frac{d}{c}$.

Cách giải:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số này là hàm số bậc nhất trên bậc nhất, suy ra loại đáp án A và B.

Quan sát đồ thị ta thấy hàm số có TCĐ $x = 1$, suy ra loại đáp án D.

Chọn C.

Câu 42 (TH) – Phương trình mặt phẳng

Phương pháp:

Hai mặt phẳng song song với nhau khi và chỉ khi hai VTPT của hai mặt phẳng cùng phương.

Cách giải:

Mặt phẳng $\left( P \right):\,\,\,3x - my - z + 7 = 0$ có 1 VTPT $\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {3; - m; - 1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( Q \right):\,\,\,6x + 5y - 2z - 4 = 0$ có 1 VTPT $\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {6;5; - 2} \right)$.

Để $\left( P \right)\parallel \left( Q \right)$ thì $\overrightarrow {{n_P}} ,\,\,\overrightarrow {{n_Q}}$ cùng phương $\Leftrightarrow \frac{3}{6} = \frac{{ - m}}{5} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}}$$\Leftrightarrow m =  - \frac{5}{2}$ .

Chọn A.

Câu 43 (VD) – Ứng dụng của tích phân trong hình học

Phương pháp:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = 4 - \left| x \right|$ với trục hoành để xác định các cận.

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành, đường thẳng $x = a,\,\,x = b$ là: $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$.

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm $4 - \left| x \right| = 0 \Leftrightarrow \left| x \right| = 4$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  - 4\end{array} \right.$ .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 4 - \left| x \right|$ và trục hoành là:

$\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 4}^4 {\left| {4 - \left| x \right|} \right|dx} \\ = \int\limits_{ - 4}^0 {\left( {x + 4} \right)dx}  + \int\limits_0^4 {\left( {4 - x} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 4x} \right)} \right|_{ - 4}^0 + \left. {\left( {4x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^4\\ = 8 + 8 = 16.\end{array}$

Chọn B.

Câu 44 (VD) – Phương trình mặt phẳng

Phương pháp:

- Xác định VTPT của mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ là $\overrightarrow {{n_\alpha }}$, VTCP của đường thẳng $\left( d \right)$ là $\overrightarrow {{u_d}}$.

- Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng cần tìm, $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_\alpha }}  = 0\\\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]$.

- Chọn $M \in d$ bất kì $\Rightarrow M \in \left( P \right)$.

- Phương trình mặt phẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTPT $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ có phương trình là:

$A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$.

Cách giải:

Mặt phẳng $\left( \alpha  \right):2x - 3y + z - 2 = 0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {2; - 3;1} \right)$.

Đường thẳng $d:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}$ có 1 VTCP là $\overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 1;2; - 1} \right)$.

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {1;1;1} \right)$.

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng cần tìm và $\overrightarrow {{n_P}}$ là 1 VTPT của $\left( P \right)$.

Theo bài ra ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( \alpha  \right)\\\left( P \right) \supset \left( d \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_\alpha }}  = 0\\\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\end{array} \right.$$\Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {1;1;1} \right)$ .

Lấy $M\left( {0; - 1;2} \right) \in d \Rightarrow M \in \left( P \right)$ .

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ cần tìm là $1\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y + 1} \right) + 1\left( {z - 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0$.

Chọn B.

Câu 45 (TH) – Phương trình đường thẳng trong không gian

Phương pháp:

- $d \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}}$.

- Phương trình đường thẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)$ là: $\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}$.

Cách giải:

Mặt phẳng $2x - 3y + 6z + 19 = 0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow n \left( {2; - 3;6} \right)$

$\Rightarrow$ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $2x - 3y + 6z + 19 = 0$ có 1 VTCP là $\overrightarrow u  = \overrightarrow n  = \left( {2; - 3;6} \right)$.

Vậy phương trình đường thẳng đi qua điểm $A\left( { - 2;4;3} \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $2x - 3y + 6z + 19 = 0$ là: $\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{6}$.

Chọn B.

Câu 46 (VD) – Tích phân

Phương pháp:

- Biến đổi $\frac{{x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}} = \frac{{x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}}$$= \frac{A}{{x - 1}} + \frac{B}{{2x - 1}}$ .

- Quy đồng, đồng nhất hệ số tìm $A,\,\,B$.

- Sử dụng công thức tính nguyên hàm mở rộng: $\int {\frac{{dx}}{{ax + b}}}  = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C$.

- Đồng nhất hệ số tìm $a,\,\,b$ và tính giá trị biểu thức $P$.

Cách giải:

Ta có $\frac{{x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}} = \frac{{x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}}$$= \frac{A}{{x - 1}} + \frac{B}{{2x - 1}}$ .

$\Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}}$ $= \frac{{A\left( {2x - 1} \right) + B\left( {x - 1} \right)}}{{2{x^2} - 3x + 1}}$

$\Leftrightarrow x + 2 = \left( {2A + B} \right)x - A - B$

Đồng nhất hệ số ta có $\left\{ \begin{array}{l}2A + B = 1\\ - A - B = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 3\\B =  - 5\end{array} \right.$, khi đó ta có $\frac{{x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}} = \frac{3}{{x - 1}} - \frac{5}{{2x - 1}}$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_2^3 {\frac{{x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 1}}{\rm{d}}x} \\ = \int\limits_2^3 {\left( {\frac{3}{{x - 1}} - \frac{5}{{2x - 1}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {3\ln \left| {x - 1} \right| - \frac{5}{2}\ln \left| {2x - 1} \right|} \right)} \right|_2^3\\ = 3\ln 2 - \frac{5}{2}\ln 5 - 3\ln 1 + \frac{5}{2}\ln 3\\ =  - \frac{5}{2}\ln 5 + \frac{5}{2}\ln 3 + 3\ln 2\end{array}$

$\Rightarrow a =  - \frac{5}{2},\,\,b = \frac{5}{2}$.

Vậy $P = 2a - b$$= 2.\frac{{ - 5}}{2} - \frac{5}{2} =  - \frac{{15}}{2}$.

Chọn B.

Câu 47 (VD) – Phương trình đường thẳng trong không gian

Cách giải:

Gọi đường thẳng đi qua $M$ cắt và vuông góc với $d$ là $\Delta$.

Gọi$N = \Delta  \cap d$$\Rightarrow N\left( {4 + 3t;\,\,2 + t;\,\, - 1 + t} \right)$ .

Ta có $\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {MN}$$= \left( {4 + 3t;\,\,t;\,\, - 1 + t} \right)$ .

Đường thẳng $d:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 3t\\y = 2 + t\\z =  - 1 + t\end{array} \right.$ có 1 VTCP $\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3;1;1} \right)$.

Vì $d \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {MN}  = 0$.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\left( {4 + 3t} \right) + 1.t + 1\left( { - 1 + t} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 12 + 9t + t - 1 + t = 0\\ \Leftrightarrow 11t + 11 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\end{array}$

$\Rightarrow N\left( {1;1; - 2} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {MN}$$= \left( {1; - 1; - 2} \right)\parallel \left( { - 1;1;2} \right)$ .

Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ là: $\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{2}.$

Chọn A.

Câu 48 (VDC) – Nguyên hàm

Phương pháp:

- Lấy nguyên hàm hai vế, từ đó suy ra hàm số $f\left( x \right)$.

- Lập BBT của hàm số $y = f\left( x \right)$.

- Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = m$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và đường thẳng $y = m$ song song với trục hoành.

Cách giải:

Lấy nguyên hàm hai vế biểu thức $\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = 2 - 2x$ ta có:

$\begin{array}{l}\int {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx}  = \int {\left( {2 - 2x} \right)dx} \\ \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( x \right)} \right| =  - {x^2} + 2x + C\end{array}$

Theo bài ra ta có $f\left( 0 \right) = 1$ $\Leftrightarrow \ln \left| {f\left( 0 \right)} \right| = C$$\Leftrightarrow \ln 1 = C \Leftrightarrow C = 0$ .

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( x \right)} \right| =  - {x^2} + 2x\\ \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = {e^{ - {x^2} + 2x}}\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = {e^{ - {x^2} + 2x}}\\\left( {Do\,\,f\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}} \right)\end{array}$

Ta có : $f'\left( x \right) = \left( { - 2x + 2} \right){e^{ - {x^2} + 2x}} = 0$$\Leftrightarrow x = 1$

BBT :

Phương trình $f\left( x \right) = m$ có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại hai điểm phân biệt, dựa vào BBT ta suy ra $0 < m < e$.

Chọn A.

Câu 49 (VDC) – Ôn tập tổng hợp chương 1, 2 (Giải tích 12)

Phương pháp:

- Đưa phương trình về dạng $f\left( u \right) = f\left( v \right)$.

- Chứng minh hàm số $f\left( t \right)$ đơn điệu trên khoảng xác định của chúng, từ đó suy ra $u = v$.

- Giải phương trình tìm nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$.

- Tính ${x_1} + 2{x_2}$ và suy ra $a,\,\,b$. Từ đó tính giá trị $a + b$.

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}{\log _7}\left( {\frac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}} \right) + 4{x^2} + 1 = 6x\\ \Leftrightarrow {\log _7}\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) - {\log _7}\left( {2x} \right)\\ + 4{x^2} - 4x + 1 = 2x\\ \Leftrightarrow {\log _7}\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)\\ = {\log _7}\left( {2x} \right) + 2x\end{array}$

Xét hàm đặc trung $f\left( t \right) = {\log _7}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)$ ta có : $f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 7}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0$.

$\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$, do đó ta có

$4{x^2} - 4x + 1 = 2x$$\Leftrightarrow 4{x^2} - 6x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow x = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{4}$.

TH1: ${x_1} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{4},\,\,{x_2} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{4}$ $\Rightarrow {x_1} + 2{x_2} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{4} + \frac{{6 - 2\sqrt 5 }}{4}$$= \frac{1}{4}\left( {9 - \sqrt 5 } \right)$

$\Rightarrow$ Khác với dạng đề bài cho, loại.

TH2: ${x_1} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{4},\,\,{x_2} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{4}$

$\Rightarrow {x_1} + 2{x_2} = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{4} + \frac{{6 + 2\sqrt 5 }}{4}$$= \frac{1}{4}\left( {9 + \sqrt 5 } \right)$

$\Rightarrow$ $a = 9,\,\,b = 5$.

Vậy $a + b = 9 + 5 = 14$.

Chọn A.

Câu 50 (VDC) – Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Phương pháp:

- Đặt ẩn phụ $t = {x^2} - 4x + 5$, tìm khoảng giá trị của $t$ ứng với $x \in \left[ {0;3} \right]$.

- Khảo sát hàm số $f\left( t \right)$ trên khoảng giá trị của $t$, từ đó kết luận max, min của hàm số.

Cách giải:

Ta có :

$\begin{array}{l}f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} - 4x + 5}} - \frac{{{x^2}}}{4} + x\\f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} - 4x + 5}} - \frac{{{x^2} - 4x}}{4}\end{array}$

Đặt $t = {x^2} - 4x + 5$ với $x \in \left[ {0;3} \right]$ ta có $t' = 2x - 4 = 0$$\Leftrightarrow x = 2 \in \left[ {0;3} \right]$.

Ta có : $t\left( 0 \right) = 5;\,\,t\left( 2 \right) = 1,\,\,t\left( 3 \right) = 2$.

 $\Rightarrow$ Với $x \in \left[ {0;3} \right]$ thì $t \in \left[ {1;5} \right]$, khi đó hàm số trở thành $f\left( t \right) = \frac{1}{t} - \frac{{t - 5}}{4}$ với $t \in \left[ {1;5} \right]$.

Ta có $f'\left( t \right) =  - \frac{1}{{{t^2}}} - \frac{1}{4} < 0\,\,\forall t \in \left[ {1;5} \right]$.

$\Rightarrow$ Hàm số $y = f\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left[ {1;5} \right]$

$\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( t \right)$$= f\left( 1 \right) = 2 = M$ 

$\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( t \right)$ $= f\left( 5 \right) = \frac{1}{5} = m$

Vậy $M - m = 2 - \frac{1}{5} = \frac{9}{5}$.

Chọn D.

Loigiaihay.com