Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2019 - 2020 trường THPT Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc

Câu 1.  Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$  , cho $A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right);$ $C\left( {0;0;c} \right),\left( {abc \ne 0} \right)$. Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$   là:

A.$\frac{x}{c} + \frac{y}{b} + \frac{z}{a} = 1$

B. $\frac{x}{b} + \frac{y}{a} + \frac{z}{c} = 1$

C. $\frac{x}{a} + \frac{y}{c} + \frac{z}{b} = 1$

D. $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Câu 2.  Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):\,\,x\,\, + \,\,2y\,\, + 3z - \,\,2020\,\, = \,\,0;$ đường thẳng $d:\,\,\frac{{x\,\, - \,\,1}}{1}\,\, = \,\,\frac{{1 - \,\,y}}{2}\,\, = \,\,\frac{{z\,\, + \,\,3}}{3}$. Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha )$ là:

A.  $60^\circ .$             B.  $45^\circ .$

C.  $30^\circ .$             D.  $90^\circ .$

Câu 3.  Phương trình ${z^2} + az + b = 0$ có một nghiệm phức là $z = 1 + 2i$. Tổng 2 số $a$và $b$ bằng:

A.  $- 3$                      B.  3

C.  $- 4$                      D.  $0$

Câu 4.  Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho hàm số $y = {x^3} - 6{x^2} + mx + 1$ đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$?

A.  $m \le 0$.                B.  $m \le 12$.

C.  $m \ge 0$.               D.  $m \ge 12$.

Câu 5.  Cho vectơ $\overrightarrow a  = \left( {1;3;4} \right)$, tìm vectơ $\overrightarrow b$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow a$

A.  $\overrightarrow b  = \left( { - 2;6;8} \right).$

B.  $\overrightarrow b  = \left( {2; - 6; - 8} \right).$

C.  $\overrightarrow b  = \left( { - 2; - 6; - 8} \right).$

D.  $\overrightarrow b  = \left( { - 2; - 6;8} \right).$

Câu 6.  Tính diện tích hình phẳng giởi hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^3} - x$ và đồ thị hàm số $y = {x^2} - x$

A.  $\frac{1}{{12}}$    B.  $\frac{1}{8}$

C.  $\frac{1}{4}$         D.  $\frac{1}{{16}}$

Câu 7.  Cho các điểm $I\left( {1;1; - 2} \right)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 3 + 2t\\z = 2 + t\end{array} \right.$. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$có tâm $I$ và cắt đường thẳng $d$ tại hai điểm $A,B$ sao cho tam giác $IAB$ vuông là:

A.  ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9.$

B.  ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 36.$

C.  ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 3.$

D.  ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9.$

Câu 8.  Cho số phức $z$ thỏa $z = 2i - 2$. Môđun của số phức ${z^{2016}}$ là:

A.  ${2^{3024}}$.        B.  ${2^{4032}}$.

C.  ${2^{6048}}$         D.  ${2^{2016}}$.

Câu 9. Giả sử hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[0;1]$ thỏa mãn $f'(x) = f'(1 - x),\forall x \in \left[ {0;1} \right]$. Biết $f(0) = 1;f(1) = 41$, giá trị của tích phân $\int\limits_0^1 {f(x)dx}$ là

A.  $42$.                      B.  $\sqrt {41}$.

C.  $21$.                      D.  $40$.

Câu 10.  Cho một mặt cầu có diện tích là $S$, thể tích khối cầu đó là $V$. Tính bán kính $R$ của mặt cầu.

A.  $R = \frac{{4V}}{S}$.           B.  $R = \frac{V}{{3S}}$

C.  $R = \frac{{3V}}{S}$.           D.  $R = \frac{S}{{3V}}$

Câu 11.  Giả sử hàm số $f$ liên tục trên đoạn $[0;2]$ thỏa mãn $\int\limits_0^2 {f(x)dx}  = 6$. Giá trị của tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {2\sin x} \right)\cos xdx}$ là

A.  $- 3$.                     B.  $3$.

C.  $- 6$.                     D.  $6$.

Câu 12.  Gọi $A$ là điểm biểu diễn số phức $z$, $B$ là điểm biểu diễn số phức $-z$. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai ?

A.  A và B đối xứng nhau qua trục hoành.

B.  A và B trùng gốc tọa độ khi $z=0$.

C.  A và B đối xứng qua gốc tọa độ.

D.  Đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ.

Câu 13.  Cho hàm số $\left( C \right)\;:\;y = {x^3} + 3{x^2}$. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( {1;4} \right)$ là

A.  $y = 9x + 5.$

B.  $y =  - 9x - 5.$

C.  $y = 9x - 5.$

D.  $y =  - 9x + 5.$

Câu 14.  Thể tích khối tam diện vuông $O.ABC$ vuông tại $O$ có $OA = a,{\rm{ }}OB = OC = 2a$ là

A.  $2{a^3}$.               B.  $\frac{{{a^3}}}{2} \cdot$

C.  $\frac{{{a^3}}}{6} \cdot$                       D.  $\frac{{2{a^3}}}{3}$

Câu 15.  Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow a  = \left( { - 2;2;5} \right),\,\overrightarrow b  = \left( {0;1;2} \right)$ trong không gian bằng

A.  $12$.                      B.  $14$.

C.  $10$.                      D.  $13$.

Câu 16.  Tập xác định của $f\left( x \right) = \sqrt {{{\log }_2}\left( {3x + 4} \right)}$ là?

A.  $D = \left[ { - 1; + \infty } \right)$

B.  $D = \left( { - \frac{4}{3}; + \infty } \right)$

C.  $D = \left( { - 1; + \infty } \right)$

D.  $D = \left[ {1; + \infty } \right)$

Câu 17.  Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x - 4$ trên đoạn $\left[ { - 4;0} \right]$ lần lượt là M và m. Giá trị của tổng $M + m$ bằng bao nhiêu?

A.  $M + m = \frac{4}{3}$.

B.  $M + m =  - \frac{{28}}{3}$.

C.  $M + m =  - 4$.

D.  $M + m =  - \frac{4}{3}$.

Câu 18.  Phần thực của $z = \left( {2 + 3i} \right)i$ là

A.  $3$                         B.  $- 2$.

C.  $- 3$.                     D.  $2$

Câu 19.  Trong mặt phẳng phức $Oxy$, các số phức $z$ thỏa $\left| {z - 5i} \right| \le 3$. Nếu số phức $z$ có môđun nhỏ nhất thì phần ảo bằng bao nhiêu ?

A.  $2$.                        B.  $4$.

C.  $0$.                        D.  $3$

Câu 20.  Một ô tô đang chạy với vận tốc 12m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) =  - 6t + 12\,\,(m/s)$, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét ?

A.  $6m$                      B.  $0,4\,\,m$

C.  $24\,\,m$                D.  $12\,m$

Câu 21.  Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$đi qua điểm $M\left( {1;2;3} \right)$ và cắt các trục $Ox,Oy,Oz$lần lượt tại $A$,$B$,$C$ ( khác gốc toạ độ $O$) sao cho $M$ là trực tâm tam giác $ABC$. Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$có phương trình là:

A.  $3x + 2y + z - 10 = 0$.

B.  $x + 2y + 3z + 14 = 0$.

C.  $x + 2y + 3z - 14 = 0$.

D.  $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} - 1 = 0$.

Câu 22.  Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng $a$. Tính diện tích xung quanh của hình nón.

A.  $\frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}$.                B.  $\pi {a^2}\sqrt 2$

C.  $\frac{{2\pi {a^2}\sqrt 2 }}{3}$.              D.  $\frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{4}$

Câu 23.  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y = \left\{ \begin{array}{l} - x{\text{   nếu   } }x \le 1\\x - 2{{\text{   nếu   } } }x > 1\end{array} \right.$ và $y = \frac{{10}}{3}x - {x^2}$ là $\frac{a}{b}$. Khi đó $a + 2b$ bằng

A.  $15$                       B.  $17$

C.  $18$                       D.  $16$

Câu 24.  Trong không gian $Oxyz$ cho hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$, khi đó $\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]} \right|$ bằng

A.  $\overrightarrow u .\overrightarrow v .cos\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right).$

B.  $\overrightarrow u .\overrightarrow v .\sin \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right).$

C.  $\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\sin \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right).$

D.  $\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.cos\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right).$

Câu 25.  Phương trình ${3^{1 - x}} = 2 + {\left( {\frac{1}{9}} \right)^x}$có bao nhiêu nghiệm âm?

A.  $1$                         B.  $3$

C.  $2$                         D.  $0$

Câu 26.  Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = a{x^2}$, $y = bx$ $\left( {a,b \ne 0} \right)$ quay xung quanh trục $Ox$. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A.  $V = \pi .\frac{{{b^3}}}{{{a^3}}}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right)$

B.  $V = \pi .\frac{{{b^5}}}{{5{a^3}}}$

C.  $V = \pi .\frac{{{b^5}}}{{3{a^3}}}$.

D.  $V = \pi .\frac{{{b^5}}}{{{a^3}}}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right)$

Câu 27.  Hàm số $f\left( x \right) = 2\ln \left( {x + 1} \right) - {x^2} + x$ đạt giá trị lớn nhất tại giá trị của x bằng:

A.  $0$                         B.  $2$

C.  $1$                         D.  $e$

Câu 28.  Phương trình mặt cầu tâm $I\left( {1; - 2;3} \right)$ và tiếp xúc với trục $Oy$ là:

A.  ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 8.$

B.  ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 10.$

C.  ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9.$

D.  ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16.$

Câu 29.  Cho hai điểm $A,B$ phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua $A$ và $B$ là

A.  trung điểm của đoạn thẳng $AB$.

B.  đường thẳng trung trực của $AB$.

C.  mặt phẳng song song với đường thẳng $AB$.

D.  mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Câu 30.  Cho đồ thị hàm số $y = f(x)$. Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là

A.  $S = \int\limits_{ - 2}^0 {f(x)dx - } \int\limits_0^1 {f(x)dx}$

B.  $S = \int\limits_{ - 2}^1 {f(x)dx}$

C.  $S = \int\limits_0^{ - 2} {f(x)dx + } \int\limits_0^1 {f(x)dx}$

D.  $S = \int\limits_{ - 2}^0 {f(x)dx + } \int\limits_0^1 {f(x)dx}$

Câu 31.  Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và số thực dương $a$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào luôn đúng?

A.  $\int\limits_a^a {f(x)dx}  = f(a)$.

B.  $\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx}  = 1$.

C.  $\int\limits_a^a {f(x)dx}  =  - 1$.

D.  $\int\limits_a^a {f(x)dx}  = 0$.

Câu 32.  Trong không gian với hệ tọa độ $Oxy$ cho mặt cầu $\left( S \right):$${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9$. Phương trình đường thẳng $d$ đi qua tâm của mặt cầu $\left( S \right)$, song song với $\left( \alpha  \right):2x + 2y - z - 4 = 0$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 6}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{1}$ là.

A.  $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 2 - 5t\\z =  - 3 - 8t\end{array} \right..$

B.  $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y =  - 2 - 5t\\z = 3 - 8t\end{array} \right.\,.$

C.  $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y =  - 2 + 5t\\z = 3 + 8t\end{array} \right..$

D.  $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y =  - 2 + 5t\\z = 3 - 8t\end{array} \right..$

Câu 33.  Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.  Hàm số có hai cực trị.

B.  Hàm số đồng biến trong khoảng $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$.

C.  Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x =  - 1$, tiệm cận ngang $y = 2$.

D.  Hàm số nghịch biến trong khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( { - 1; + \infty } \right)$.

Câu 34.  Cho số phức $z = 6 + 7i$. Số phức liên hợp của $z$ là

A.  $\overline z  =  - 6 + 7i$.                           B.  $\overline z  = 6 - 7i$.

C.  $\overline z  = 6 + 7i$.                              D.  $\overline z  =  - 6 - 7i$.

Câu 35.  Tính khoảng cách từ điểm $B\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):y + 1 = 0$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A.  $\frac{{\left| {{y_0} + 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}.$                         B.  $\left| {{y_0} + 1} \right|.$

C.  ${y_0}.$                 D.  $\left| {{y_0}} \right|.$

Câu 36.  Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 32$ là:

A.  $\left( {5; + \infty } \right)$.

B.  $\left( { - \infty ; - 5} \right)$.

C.  $\left( { - \infty ;5} \right)$.

D.  $\left( { - 5; + \infty } \right)$.

Câu 37.  Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f(x),Ox,x = a,x = b$ quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A.  $V = \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx.}$

B.  $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx.}$

C.  $V = {\pi ^2}\int\limits_a^b {f(x)dx.}$

D.  $V = \int\limits_a^b {{\pi ^2}{f^2}(x)dx.}$

Câu 38.  Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\ln 3} {x{e^x}dx}$

A.  $I = 3\ln 3 - 3$

B.  $I = 3\ln 3 - 2$

C.  $I = 2 - 3\ln 3$

D.  $I = 3 - 3\ln 3$

Câu 39.  Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):$${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9$, điểm $A\left( {0;0;2} \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A$ và cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo thiết diện là hình tròn $\left( C \right)$có diện tích nhỏ nhất ?

A.  $\left( P \right):x + 2y + z - 2 = 0$.

B.  $\left( P \right):3x + 2y + 2z - 4 = 0$.

C.  $\left( P \right):x - 2y + 3z - 6 = 0$.

D.  $\left( P \right):x + 2y + 3z - 6 = 0$.

Câu 40.  Cho hàm số $f$ liên tục trên đoạn $[0;3]$. Nếu $\int\limits_0^3 {f(x)dx}  = 2$ thì tích phân $\int\limits_0^3 {\left[ {x - 2f(x)} \right]dx}$ có giá trị bằng

A.  $7$.                        B.  $\frac{5}{2}$.

C.  $5$.                        D.  $\frac{1}{2}$.

Câu 41.  Cho hai số phức ${z_1} = 1 + i$ và ${z_2} =  - 5 + 2i$. Tính môđun của số phức ${z_1} + {z_2}$

A.  $- \sqrt 7$.             B.  $5$

C.  $- 5$.                     D.  $\sqrt 7$.

Câu 42.  Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn $\int\limits_{ - 1}^1 {f(x)dx}  = \int\limits_{ - 2}^2 {f(x)dx}$?

A.  $f(x) = x + 1$.

B.  $f(x) = {e^x}$.

C.  $f(x) = \cos x$.

D.  $f(x) = \sin x$.

Câu 43.  Cho số phức $z = a + ai\,\,\,\,\left( {a \in \mathbb{R}} \right)$. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức liên hợp của z trong mặt phẳng tọa độ là:

A.  $x = a$.                   B.  $y = a$.

C. $x + y = 0$.              D.  $y = x$.

Câu 44.  Tích phân $I = \int\limits_2^5 {\frac{{dx}}{x}}$ có giá trị bằng

A.  $\ln \frac{2}{5}$.   B.  $\frac{1}{3}\ln 3$.

C.  $3\ln 3$.                  D.  $\ln \frac{5}{2}$.

Câu 45.  Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ?

A.  ${\left( {x + y} \right)^2} = 2xy - {z^2} - 1.$

B.  ${x^2} + {y^2} - {z^2} + 2x - y + 1 = 0.$

C.  $2{x^2} + 2{y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - {z^2} + 2x - 1.$

D.  ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x = 0.$

Câu 46.  Đạo hàm của hàm số $y = {\log _5}x,\,x > 0$là:

A.  $y' = \frac{1}{{x\ln 5}}$

B.  $y' = x\ln 5$

C.  $y' = {5^x}\ln 5$

D.  $y' = \frac{1}{{{5^x}\ln 5}}$

Câu 47.  Phần thực, phần ảo của số phức $z$ thỏa mãn $\overline z  = \frac{5}{{1 - 2i}} - 3i$ lần lượt là

A.  $1;1$                      B.  $1; - 2$.

C.  $1;2$.                     D.  $1; - 1$.

Câu 48.  Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz,$ cho các điểm $A\left( {1;0;\,0} \right),\,B\left( {0;b;\,0} \right),\,C\left( {0;\,0;c} \right)$ trong đó $b,\,c$ dương và mặt phẳng $\left( P \right):\,y - \,z\, + 1\, = 0$. Biết rằng $mp\left( {ABC} \right)$ vuông góc với $mp\left( P \right)$ và $d\left( {O,\,\left( {ABC} \right)} \right)\, = \,\frac{1}{3}$, mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $b + \,c = \,1.$

B.  $2b + \,c = \,1.$

C.  $b - 3\,c = \,1.$

D.  $3b + \,c = \,3.$

Câu 49.  Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)$ với trục $Ox$ là

A.  $1$.                        B.  $3.$

C.  $0.$                        D.  $2.$

Câu 50.  Trong không gian $Oxyz$, tọa độ giao điểm M của đường thẳng $d:\frac{{x - 12}}{4} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 1}}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):3x + 5y - z - 2 = 0$ là

A.  $\left( {0; - 2; - 3} \right)$ .

B.  $\left( {0;2;3} \right)$.

C.  $\left( {0;0; - 2} \right)$.

D.  $\left( {0;0;2} \right)$ .

------- HẾT -------

ĐÁP ÁN

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Thực hiện: Ban chuyên môn Loigiaihay.com

Câu 1:

Phương pháp:

Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Đáp án D

Câu 2:

Phương pháp:

Cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có VTPT $\overrightarrow n$  và đường thẳng $d$ có VTCP $\overrightarrow u$

Khi đó góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\alpha$. Ta có:

$\sin \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow u } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|}}$

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng $(\alpha ):\,\,x\,\, + \,\,2y\,\, + 3z - \,\,2020\,\, = \,\,0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow n  = \left( {1;2;3} \right)$

Đường thẳng $d:\,\,\frac{{x\,\, - \,\,1}}{1}\,\, = \,\,\frac{{1 - \,\,y}}{2}\,\, = \,\,\frac{{z\,\, + \,\,3}}{3}$ có 1 VTCP là $\overrightarrow u  = \left( {1;2;3} \right)$

Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ là $\beta$.

$\sin \beta  = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}$ $= \frac{{\left| {1.1 + 2.2 + 3.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }}$ $= \frac{{14}}{{14}} = 1$ $\Rightarrow \beta  = {90^0}$

Đáp án D

Câu 3:

Phương pháp:

Thay số phức $z = 1 + 2i$ vào phương trình để tìm $a + b$

Hướng dẫn giải:

Vì $z = 1 + 2i$ là nghiệm của phương trình ${z^2} + az + b = 0$ nên ta có:

${\left( {1 + 2i} \right)^2} + a.\left( {1 + 2i} \right) + b = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 3 + 4i + a + 2ai + b = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + b - 3} \right) + \left( {2a + 4} \right)i = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b - 3 = 0\\2a + 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 5\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + b =  - 2 + 5 = 3\end{array}$

Đáp án B

Câu 4:

Phương pháp:

Hàm số $y = f\left( x \right)$ có $f'\left( x \right) \ge 0$ với mọi $x \in K$, dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm thì đồng biến trên $K$.

Hướng dẫn giải:

Hàm số đã cho xác định trên $\left( {0; + \infty } \right)$

Ta có: $y' = 3{x^2} - 12x + m$

Để hàm số đã cho đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ thì $y' \ge 0$ với mọi $x > 0$ (dấu “=” xáy ra tại hữu hạn điểm)

$\Leftrightarrow 3{x^2} - 12x + m \ge 0$ với mọi $x > 0$

$\Leftrightarrow m \ge  - 3{x^2} + 12x$ với mọi $x > 0$

Xét hàm số $g\left( x \right) =  - 3{x^2} + 12x$ đạt giá trị lớn nhất là $12$ tại $x =  - \frac{b}{{2a}} = 2$ $\in \left( {0; + \infty } \right)$

Nên $m \ge 12$.

Đáp án D

Câu 5:

Phương pháp:

Véc tơ $k\overrightarrow a \left( {k \ne 0} \right)$ cùng phương với $\overrightarrow a$

Hướng dẫn giải:

Ta có $\overrightarrow a  = \left( {1;3;4} \right)$ nên $- 2\overrightarrow a  = \left( { - 2; - 6; - 8} \right)$$= \overrightarrow b$ cùng phương với $\overrightarrow a .$

Đáp án C

Câu 6:

Phương pháp:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = f\left( x \right);y = g\left( x \right)$ và $x = a;x = b$ được tính bởi công thức: $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$

Hướng dẫn giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: ${x^3} - x = {x^2} - x$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\end{array}$

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} - x - \left( {{x^2} - x} \right)} \right|} dx$ $= \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)dx} } \right|$ $= \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1} \right| = \left| {\frac{1}{4} - \frac{1}{3}} \right| = \frac{1}{{12}}$

Đáp án A

Câu 7:

Phương pháp:

Mặt cầu tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính $R$ có phương trình ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$

Hướng dẫn giải:

Ta có $\overrightarrow u  = \left( {1;2;1} \right)$ là 1 VTCP của đường thẳng $d$ và $M\left( { - 1;3;2} \right) \in d$

Suy ra $d\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {IM} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}$ $= 3\sqrt 2$

Vì $IA = IB$ nên tam giác $IAB$ vuông cân tại $I$. Kẻ $IH \bot d$ tại $H \Rightarrow IH = d\left( {I;d} \right) = 3\sqrt 2$

Tam giác $IHA$ vuông tạ $H$ có $\widehat {IAH} = {45^0}$  nên $IHA$ vuông cân tại $H$.

Suy ra $IA = IH\sqrt 2  = 6$

Hay bán kính mặt cầu là $6$.

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là:  ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 36.$

Đáp án B

Câu 8:

Phương pháp:

Số phức $z = a + bi$ có mô đun $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$

Hướng dẫn giải:

Ta có $z = 2i - 2 = 2\left( {i - 1} \right)$ nên ${z^2} = 4{\left( {i - 1} \right)^2}$ $= 4.\left( {{i^2} - 2i + 1} \right) =  - 8i$

Ta có: ${z^{2016}} = {\left( {{z^2}} \right)^{1008}}$ $= {\left( { - 8i} \right)^{1008}} = {8^{1008}}.{\left( {{i^2}} \right)^{504}}$ $= {8^{1008}}.{\left( { - 1} \right)^{504}} = {8^{1008}}$ $= {2^{3024}}$

Nên $\left| {{z^{2016}}} \right| = {2^{3024}}$

Đáp án A

Câu 9:

Phương pháp:

Biến đổi để có $f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = 42$ rồi lấy tích phân hai vế.

Hướng dẫn giải:

Ta có: ${f'}(x) = {f'}(1 - x)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int {{f'}(x)} dx = \int {{f'}(1 - x)dx} \\ \Rightarrow f\left( x \right) =  - f\left( {1 - x} \right) + C\end{array}$

Mà $f\left( 0 \right) = 1$ và $f\left( 1 \right) = 41$ suy ra  $f\left( 0 \right) =  - f\left( {1 - 0} \right) + C$ $\Leftrightarrow C = 1 + 41 = 42$

Như vậy

$\begin{array}{l}f\left( x \right) =  - f\left( {1 - x} \right) + 42\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = 42\end{array}$

$\Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx}  = \int\limits_0^1 {42} dx$

Mà ${f'}(x) = {f'}(1 - x)$$\Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx}$

Từ đó $2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 42$ $\Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 21$

Đáp án C

Câu 10:

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính thể tích khối cầu bán kính $R$ là $V = \frac{4}{3}\pi {R^3}$ và công thức tính diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2}$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{1}{3}R.4\pi {R^2}$ $= \frac{1}{3}R.S$ $\Rightarrow S = \frac{{3V}}{S}$

Đáp án C

Câu 11:

Phương pháp:

Sử dụng: $d\left( {f\left( x \right)} \right) = f'\left( x \right)dx$ hoặc sử dụng phương pháp đổi biến số

Hướng dẫn giải:

Đặt $2\sin x = t \Rightarrow 2\cos xdx = dt$

Đổi cận: $x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 2$ và $x = 0 \Rightarrow t = 0$

Ta có: $\int\limits_0^2 {f\left( t \right)\frac{1}{2}dt}$ $= \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt}  = \frac{1}{2}.6 = 3$

Đáp án B

Câu 12:

Phương pháp:

Số phức $z = a + bi$ có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là $M\left( {a;b} \right)$

Hướng dẫn giải:

Gọi $z = x + yi$ có điểm biểu diễn $A\left( {x;y} \right)$

Số phức $- z =  - x - yi$ có điểm biểu diễn $B\left( { - x; - y} \right)$

Suy ra hai điểm A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O nếu $z \ne 0$, trùng với gốc tọa độ O nếu $z = 0$ và đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ.

Vậy B, C, D đúng. A sai.

Đáp án A

Câu 13:

Phương pháp:

Sử dụng: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$

Hướng dẫn giải:

Ta có $y' = 3{x^2} + 6x$

$y'\left( 1 \right) = 9$

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y = y'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) + 4$ $\Leftrightarrow y = 9\left( {x - 1} \right) + 4$ $\Leftrightarrow y = 9x - 5$

Đáp án C

Câu 14:

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính thể tích khối tam diện vuông $OABC$ vuông tại $O$ là $V = \frac{1}{6}OA.OB.OC$

Hướng dẫn giải:

Ta có $V = \frac{1}{6}OA.OB.OC$ $= \frac{1}{6}.a.2a.2a = \frac{2}{3}{a^3}$

Đáp án D

Câu 15:

Phương pháp:

Sử dụng $\overrightarrow a  = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),\overrightarrow b  = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$ suy ra $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}$

Hướng dẫn giải:

Ta có $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left( { - 2} \right).0 + 2.1 + 5.2$ $= 12.$

Đáp án A

Câu 16:

Phương pháp:

Hàm số $y = {\log _a}f\left( x \right)$ với $a > 0$ xác định khi $f\left( x \right) > 0$

Hướng dẫn giải:

Hàm số $f\left( x \right)$ xác định $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {3x + 4} \right) \ge 0\\3x + 4 > 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 4 \ge 1\\3x + 4 > 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow 3x \ge  - 3 \Leftrightarrow x \ge  - 1$

Vậy tập xác định $D = \left[ { - 1; + \infty } \right)$

Đáp án A

Câu 17:

Phương pháp:

Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$

B1: Tìm TXĐ

B2: Tìm $f'\left( x \right)$, gpt $f'\left( x \right) = 0$ tìm các nghiệm ${x_i} \in \left[ {a;b} \right]$ và các ${x_j}$ làm cho $f'\left( x \right)$ không xác định (nếu có)

B3: Tính $f\left( a \right);f\left( {{x_i}} \right);f\left( {{x_j}} \right);f\left( b \right)$

Khi đó $\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);f\left( {{x_i}} \right);f\left( {{x_j}} \right);f\left( b \right)} \right\}$ và $\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);f\left( {{x_i}} \right);f\left( {{x_j}} \right);f\left( b \right)} \right\}$

Hướng dẫn giải:

TXĐ: $D = \mathbb{R}$

Ta có: $y' = {x^2} + 4x + 3 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 \in \left[ { - 4;0} \right]\\x =  - 3 \in \left[ { - 4;0} \right]\end{array} \right.$

Suy ra $f\left( 0 \right) =  - 4;$ $f\left( { - 1} \right) =  - \frac{{16}}{3};$ $f\left( { - 3} \right) =  - 4;f\left( { - 4} \right) =  - \frac{{16}}{3}$

Nên $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 4;0} \right]} y =  - 4$ khi $x = 0;x =  - 3$

$\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4;0} \right]} y =  - \frac{{16}}{3}$ khi $x =  - 1;x =  - 4$

Từ đó $M + m =  - 4 + \frac{{ - 16}}{3} =  - \frac{{18}}{3}$

Đáp án B

Câu 18:

Phương pháp:

Số phức $z = a + bi$ có $a$ là phần thực

Hướng dẫn giải:

Ta có $z = \left( {2 + 3i} \right)i =  - 3 + 2i$ có phần thực là $- 3.$

Đáp án C

Câu 19:

Phương pháp:

Số phức $z = a + bi$ có môđun $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$ 

Hướng dẫn giải:

Gọi $z = x + yi\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)$ 

Ta có:

 $\begin{array}{l}\left| {x + yi - 5i} \right| \le 3\\ \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 5} \right)i} \right| \le 3\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} \le 9\end{array}$

Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là hình tròn tâm $I\left( {0;5} \right)$ bán kính $R = 3$ (tính cả biên)

Số phức $z$ có điểm biểu diễn $M\left( {x;y} \right)$ và có mô đun $OM$

Ta thấy $OM$ nhỏ nhất khi $M$ là giao điểm của đường thẳng $OI$ với đường tròn $\left( I \right):{x^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 9$

Đường thẳng $OI$ đi qua $O\left( {0;0} \right)$ và nhận $\overrightarrow {OI}  = \left( {0;5} \right)$ làm VTCP nên có phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = t\end{array} \right.$

Thay $x = 0;y = t$ vào phương trình đường tròn $\left( I \right)$ ta được: ${\left( {t - 5} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8\\t = 2\end{array} \right.$

Với $t = 8 \Rightarrow M\left( {0;8} \right)$ nên $OM = 8$

Với $t = 2 \Rightarrow M\left( {0;2} \right)$ nên $OM = 2$ (nhận vì $2 < 8$)

Vậy $z = 2i$ hay phần ảo cần tìm là $2.$

Đáp án A

Câu 20:

Phương pháp:

Sử dụng $S\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt}$ với $S\left( t \right)$ là quãng đường và $v\left( t \right)$ là vận tốc tính theo thời gian $t$.

Hướng dẫn giải:

Khi dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 nên ta có: $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - 6t + 12 = 0$ $\Leftrightarrow t = 2.$

Quãng đường ô tô đi được là: $S = \int\limits_0^2 {\left( { - 6t + 12} \right)dt}$ $= \left. {\left( { - 3{t^2} + 12t} \right)} \right|_0^2 = 12m$

Đáp án D

Câu 21:

Phương pháp:

Mặt phẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có $\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)$ là VTPT thì có phương trình là $a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0$ 

Hướng dẫn giải:

Vì M là trực tâm tam giác ABC nên $MA \bot BC$

Lại có $OA \bot \left( {OBC} \right)$ (do $Ox;Oy;Oz$ đôi một vuông góc) nên $BC \bot OA$

Suy ra $BC \bot \left( {OAM} \right)$ nên $BC \bot OM$

Tương tự ta cũng có $AB \bot OM$

Suy ra $OM \bot \left( {ABC} \right)$

Như vậy $\left( {ABC} \right)$ đi qua $M\left( {1;2;3} \right)$ và nhận $\overrightarrow {OM}  = \left( {1;2;3} \right)$ làm VTPT nên có phương trình:

$1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z - 3} \right) = 0$

$\Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0$

Đáp án C

Câu 22:

Phương pháp:

Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy $R$ và đường sinh $l$ là ${S_{xq}} = \pi rl$ 

Hướng dẫn giải:

Thiết diện qua trục là tam giác $SAB$ vuông cân tại $S,SA = SB = a$

Nên $AB = a\sqrt 2$, suy ra bán kính đáy là $R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ , đường sinh hình nón là $SA = a$

Diện tích xung quanh hình nón là ${S_{xq}} = \pi .\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}$

Đáp án A

Câu 23:

Phương pháp:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = f\left( x \right);y = g\left( x \right)$ và $x = a;x = b$ được tính theo công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$ 

Hướng dẫn giải:

Với $x \le 1$, xét phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{{10}}{3}x - {x^2} =  - x$ $\Leftrightarrow {x^2} - \frac{{13}}{3}x = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {tm} \right)\\x = \frac{{13}}{3}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.$

Với $x > 1$ xét phương trình hoành độ giao điểm $\frac{{10}}{3}x - {x^2} = x - 2$ ${x^2} - \frac{7}{3}x - 2 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\left( {tm} \right)\\x =  - \frac{2}{3}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.$

Diện tích cần tìm là: $S = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {\frac{{10}}{3}x - {x^2} - \left( { - x} \right)} \right)} dx} \right|$ $+ \left| {\int\limits_1^3 {\left( {\frac{{10}}{3}x - {x^2} - \left( {x - 2} \right)} \right)} dx} \right|$

$= \left| {\int\limits_0^1 {\left( {\frac{{13}}{3}x - {x^2}} \right)} dx} \right| + \left| {\int\limits_1^3 {\left( {\frac{7}{3}x - {x^2} + 2} \right)} dx} \right|$

$= \left| {\left. {\left( {\frac{{13}}{6}{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{7}{6}{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3} + 2x} \right)} \right|_1^3} \right|$

$= \frac{{13}}{2}$

Nên $a = 13;b = 2 \Rightarrow a + 2b = 17$

Đáp án B

Câu 24:

Phương pháp:

Sử dụng công thức $\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\sin \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right).$

Hướng dẫn giải:

Ta có $\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\sin \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right).$

Đáp án C

Câu 25:

Phương pháp:

Đưa về giải phương trình mũ ${a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}b$ với $0 < a \ne 1;b > 0$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

${3^{1 - x}} = 2 + {\left( {\frac{1}{9}} \right)^x}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{3}{{{3^x}}} = 2 + \frac{1}{{{3^{2x}}}}\\ \Leftrightarrow {2.3^{2x}} - {3.3^x} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} = 1\\{3^x} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = {\log _3}\frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm âm là $x = {\log _3}\frac{1}{2} =  - {\log _3}2$

Đáp án A

Câu 26:

Phương pháp:

Cho phần hình phẳng giới hạn bởi $y = f\left( x \right);y = g\left( x \right)$ và $x = a;x = b$ quay xung quanh trục $Ox$ là $V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2} - {{\left[ {g\left( x \right)} \right]}^2}} \right|} dx$

Hướng dẫn giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm $a{x^2} = bx \Leftrightarrow a{x^2} - bx = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{b}{a}\end{array} \right.$

Thể tích cần tìm là

$\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^{\frac{b}{a}} {\left| {{a^2}{x^4} - {b^2}{x^2}} \right|dx} \\ = \pi \left| {\left. {\left( {\frac{{{a^2}{x^5}}}{5} - {b^2}\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^{\frac{b}{a}}} \right|\\ = \pi \left| {\frac{{{b^5}}}{{5{a^3}}} - \frac{{{b^5}}}{{3{a^3}}}} \right|\\ = \pi \frac{{{b^5}}}{{{a^3}}}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right)\end{array}$

Đáp án D

Câu 27:

Phương pháp:

Tìm TXĐ

Tính $f'\left( x \right)$

Gpt $f'\left( x \right) = 0$, lập BBT rồi kết luận

Hướng dẫn giải:

TXĐ: $D = \left( { - 1; + \infty } \right)$

Ta có $f'\left( x \right) = \frac{2}{{x + 1}} - 2x + 1$

Nên $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{{x + 1}} - 2x + 1 = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 + \left( { - 2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Rightarrow 2 - 2{x^2} - x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {tm} \right)\\x = \frac{{ - 3}}{2}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Ta có BBT:

Vậy hàm số đã cho đạt GTLN tại $x = 1.$

Đáp án C

Câu 28:

Phương pháp:

Mặt cầu tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính $R$ là: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$

Khoảng cách từ $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến $Oy$ là $d\left( {M;Oy} \right) = \sqrt {x_0^2 + z_0^2}$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $d\left( {I;Oy} \right) = \sqrt {{1^2} + {3^2}}  = \sqrt {10}$

Mặt cầu tâm $I\left( {1; - 2;3} \right)$ và tiếp xúc với $Oy$ nên có bán kính $R = d\left( {I;Oy} \right) = \sqrt {10}$

Phương trình mặt cầu:  ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 10$

Đáp án B

Câu 29:

Phương pháp:

Sử dụng: Trong không gian, tập hợp các điểm cách đều hai điểm A, B phân biệt là mặt phẳng trung trực của đoạn AB.

Hướng dẫn giải:

Trong không gian, tập hợp các điểm cách đều hai điểm A, B phân biệt là mặt phẳng trung trực của đoạn AB.

Đáp án D

Câu 30:

Phương pháp:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = f\left( x \right),$ trục hoành và hai đường thẳng $x = a;x = b$ là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$

Hướng dẫn giải:

Từ hình vẽ ta có:

$S = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}$

Đáp án A

Câu 31:

Phương pháp:

Sử dụng tính chất của tích phân.

Hướng dẫn giải:

Ta có $\int\limits_a^a {f(x)dx}  = 0$

Đáp án D

Câu 32:

Phương pháp:

- Tìm tâm mặt cầu.

- Tìm VTCP của đường thẳng.

Chú ý: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}}  \bot \overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} \\\overrightarrow {{u_d}} //\overrightarrow {{u_\Delta }} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} //\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} ;\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]$

Hướng dẫn giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1; - 2;3} \right)$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  = \left( {2;2; - 1} \right),\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {3; - 1;1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} ;\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {1; - 5; - 8} \right)\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}}  \bot \overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} \\\overrightarrow {{u_d}} //\overrightarrow {{u_\Delta }} \end{array} \right.$$\Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} //\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} ;\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]$

Chọn $\overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 1;5;8} \right)$ ta có:

Đường thẳng $d$ đi qua $I\left( {1; - 2;3} \right)$ và nhận $\overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 1;5;8} \right)$ làm VTCP nên có phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y =  - 2 + 5t\\z = 3 + 8t\end{array} \right..$

Đáp án C

Câu 33:

Phương pháp:

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Hướng dẫn giải:

Hàm số không có cực trị nên A sai.

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( { - 1; + \infty } \right)$ nên B sai, D sai.

Đồ thị hàm số có TCĐ $x =  - 1$ và TCN $y = 2$ nên C đúng.

Đáp án C

Câu 34:

Phương pháp:

Số phức liên hợp của $z = a + bi$ là $\overline z  = a - bi$.

Hướng dẫn giải:

Số phức liên hợp của $z = 6 + 7i$ là $\overline z  = 6 - 7i$

Đáp án B

Câu 35:

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):ax + by + cz + d = 0$ là:

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {{y_0} + 1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }}$ $= \left| {{y_0} + 1} \right|$

Đáp án B

Câu 36:

Phương pháp:

Sử dụng ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)$ với $0 < a < 1$.

Hướng dẫn giải:

Ta có :

$\begin{array}{l}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 32 \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 5}}\\ \Leftrightarrow x <  - 5\end{array}$

Đáp án B

Câu 37:

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f(x),Ox,x = a,x = b$ quanh $Ox$ là $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx.}$

Hướng dẫn giải:

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f(x),Ox,x = a,x = b$ quanh $Ox$ là $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx.}$

Đáp án B

Câu 38:

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp từng phần tính tích phân:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right.$  

Hướng dẫn giải:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \left. {x{e^x}} \right|_0^{\ln 3} - \int\limits_0^{\ln 3} {{e^x}dx} \\ = \ln 3.{e^{\ln 3}} - 0 - \left. {{e^x}} \right|_0^{\ln 3}\\ = 3\ln 3 - {e^{\ln 3}} + {e^0}\\ = 3\ln 3 - 3 + 1\\ = 3\ln 3 - 2\end{array}$

Đáp án B

Câu 39:

Phương pháp:

- Kiểm tra vị trí điểm A so với mặt cầu.

- Nhận xét mối quan hệ giữa diện tích hình tròn với khoảng cách từ tâm I đến (P).

Từ đó suy ra điềm kiện.

Hướng dẫn giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ và bán kính $R = 3$.

Ta có: $IA = \sqrt {{{\left( {0 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2}}$ $= \sqrt 6  < R$

$\Rightarrow$ điểm $A$ nằm trong mặt cầu.

Để hình tròn có diện tích nhỏ nhất thì bán kính hình tròn $r$ phải nhỏ nhất.

Dễ thấy $r = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I,\left( P \right)} \right)}$ nên để ${r_{\min }}$ thì $d{\left( {I,\left( P \right)} \right)_{\max }}$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$ $\Rightarrow IH \le IA$ $\Rightarrow d\left( {I,\left( P \right)} \right) \le IA$.

Do đó $d{\left( {I,\left( P \right)} \right)_{\max }} = IA$ khi $H \equiv A$ hay $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $IA$ hay nhận $\overrightarrow {IA}  = \left( { - 1; - 2; - 1} \right)$ làm VTPT.

Vậy $\left( P \right):$ $- 1\left( {x - 0} \right) - 2\left( {y - 0} \right) - 1\left( {z - 2} \right) = 0$ $\Leftrightarrow  - x - 2y - z + 2 = 0$ $\Leftrightarrow x + 2y + z - 2 = 0$

Đáp án A

Câu 40:

Phương pháp:

Sử dụng tính chất của tích phân, tách tích phân cần tính thành hai tích phân.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\int\limits_0^3 {\left[ {x - 2f(x)} \right]dx} \\ = \int\limits_0^3 {xdx}  - 2\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \\ = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^3 - 2.2\\ = \frac{9}{2} - 4 = \frac{1}{2}\end{array}$

Đáp án D

Câu 41:

Phương pháp:

Sử dụng công thức cộng hai số phức ${z_1} + {z_2} = \left( {{a_1} + {a_2}} \right) + \left( {{b_1} + {b_2}} \right)i$

Hướng dẫn giải:

Ta có :

$\begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 1 + i - 5 + 2i\\ = \left( {1 - 5} \right) + \left( {i + 2i} \right)\\ =  - 4 + 3i\\ \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| { - 4 + 3i} \right|\\ = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {3^2}}  = 5\end{array}$

Đáp án B

Câu 42:

Phương pháp:

Sử dụng lý thuyết: Nếu hàm số $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ thì $\int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)dx}  = 0$

Hướng dẫn giải:

Nhận xét:

Trong các hàm số đã cho, hàm số $f\left( x \right) = \sin x$ là hàm lẻ nên $\int\limits_{ - 1}^1 {\sin xdx}  = 0 = \int\limits_{ - 2}^2 {\sin xdx}$

Đáp án D

Câu 43:

Phương pháp:

Số phức liên hợp của $z = a + bi$ là $\overline z  = a - bi$.

Hướng dẫn giải:

$z = a + ai \Rightarrow \overline z  = a - ai$

Tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $\overline z$ là $\left( {a; - a} \right)$ hay $\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = a\\{y_M} =  - a\end{array} \right.$

Dễ thấy ${x_M} + {y_M} = a + \left( { - a} \right) = 0$ nên $M$ thuộc đường thẳng $x + y = 0$.

Đáp án C

Câu 44:

Phương pháp:

Sử dụng nguyên hàm của hàm số cơ bản: $\int {\frac{{dx}}{x}}  = \ln \left| x \right| + C$

Hướng dẫn giải:

$I = \int\limits_2^5 {\frac{{dx}}{x}}  = \left. {\ln \left| x \right|} \right|_2^5$ $= \ln 5 - \ln 2 = \ln \frac{5}{2}$

Đáp án D

Câu 45:

Phương pháp:

Phương trình mặt cầu dạng khai triển là:

${x^2} + {y^2} + {z^2}$ $- 2ax - 2by - 2cz + d = 0$

ở đó ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A:

$\begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} = 2xy - {z^2} - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2xy = 2xy - {z^2} - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 1 = 0\end{array}$

Có $a = 0,b = 0,c = 0,d = 1$

$\Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d$ $= {0^2} + {0^2} + {0^2} - 1 =  - 1 < 0$

Nên không là phương trình mặt cầu.

Đáp án B:

${x^2} + {y^2} - {z^2} + 2x - y + 1 = 0$ không là phương trình mặt cầu vì xuất hiện số hạng $- {z^2}$.

Đáp án C:

$\begin{array}{l}2{x^2} + 2{y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - {z^2} + 2x - 1\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} = {x^2} + {y^2} + 2xy - {z^2} + 2x - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2xy - 2x + 1 = 0\end{array}$

Đây không phải phương trình mặt cầu vì xuất hiện số hạng $- 2xy$.

Đáp án D: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x = 0$

Có $a = 1,b = c = d = 0$ nên ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 > 0$

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu.

Đáp án D

Câu 46:

Phương pháp:

Sử dụng công thức đạo hàm $\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}$

Hướng dẫn giải:

Ta có $y' = \left( {{{\log }_5}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln 5}}$

Đáp án A

Câu 47:

Phương pháp:

Tính toán thu gọn số phức $\overline z$, từ đó suy ra phần thực và ảo của số phức $z$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\overline z  = \frac{5}{{1 - 2i}} - 3i\\ = \frac{{5\left( {1 + 2i} \right)}}{{\left( {1 - 2i} \right)\left( {1 + 2i} \right)}} - 3i\\ = \frac{{5 + 10i}}{{1 - 4{i^2}}} - 3i = \frac{{5 + 10i}}{{1 + 4}} - 3i\\ = \frac{{5 + 10i}}{5} - 3i = 1 + 2i - 3i\\ = 1 - i\\ \Rightarrow z = 1 + i\end{array}$

Vậy phần thực và phần ảo của $z$ là $1$ và $1$.

Đáp án A

Câu 48:

Phương pháp:

- Sử dụng công thức viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn để viết phương trình $\left( {ABC} \right)$

- Sử dụng các giả thiết bài cho lập hệ phương trình ẩn $b,c$

Hướng dẫn giải:

Ta có $A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {ABC} \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\\ \Leftrightarrow x + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\end{array}$

$\Rightarrow \left( {ABC} \right)$ có VTPT là $\overrightarrow n  = \left( {1;\frac{1}{b};\frac{1}{c}} \right)$.

$\left( P \right):y - z + 1 = 0$ $\Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {0;1; - 1} \right)$

$\begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = 0\\ \Rightarrow 1.0 + \frac{1}{b}.1 + \frac{1}{c}.\left( { - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{b} - \frac{1}{c} = 0\\ \Rightarrow \frac{1}{c} = \frac{1}{b}\end{array}$

$\begin{array}{l}d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {0 + \frac{0}{b} + \frac{0}{c} - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\frac{1}{b}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{c}} \right)}^2}} }} = \frac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }} = \frac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \sqrt {1 + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}}  = 3\\ \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = 9\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = 8\end{array}$

Thay $\frac{1}{c} = \frac{1}{b}$ ta được:

$\begin{array}{l}\frac{1}{{{b^2}}} + {\left( {\frac{1}{b}} \right)^2} = 8\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} = 8\\ \Leftrightarrow \frac{2}{{{b^2}}} = 8 \Leftrightarrow {b^2} = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow b = \frac{1}{2} \Rightarrow c = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow b + c = 1\end{array}$ 

Đáp án A

Câu 49:

Phương pháp:

Giải phương trình hoành độ giao điểm, từ đó suy ra số nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l}\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\{x^2} + 3x + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 3\\x =  - 2\\x =  - 1\end{array} \right.\end{array}$

Vậy đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại $3$ điểm phân biệt.

Đáp án B

Câu 50:

Phương pháp:

Viết phương trình đường thẳng $d$ dưới dạng tham số.

Giải hệ phương trình tọa độ giao điểm và kết luận.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}d:\frac{{x - 12}}{4} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 1}}{1}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12 + 4t\\y = 9 + 3t\\z = 1 + t\end{array} \right.\end{array}$

Điểm $M \in d$ $\Rightarrow M\left( {12 + 4t;9 + 3t;1 + t} \right)$

$\begin{array}{l}M \in \left( P \right)\\ \Leftrightarrow 3\left( {12 + 4t} \right) + 5\left( {9 + 3t} \right) - \left( {1 + t} \right) - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 36 + 12t + 45 + 15t - 1 - t - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 78 + 26t = 0\\ \Leftrightarrow t =  - 3\\ \Rightarrow M\left( {0;0; - 2} \right)\end{array}$

Đáp án C

Loigiaihay.com