Giải đề thi học kì 2 toán lớp 12 năm 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Đà Nẵng

Câu 1. Trong không gian $Oxyz,$ mặt phẳng $\left( P \right):2x - 3y + z - 7 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là

A. $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;3; - 1} \right).$

B. $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;3;2} \right).$

C. $\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {2; - 3;1} \right).$

D. $\overrightarrow {{n_4}}  = \left( { - 1;3;2} \right).$

Câu 2. Giả sử $\int\limits_1^2 {\left( {1 - \frac{4}{x}} \right){\rm{d}}x}  = a + b\ln 2$ với a, b là các số nguyên. Khi đó $a - b$ bằng

A. $- 3$.                               B. $3$.

C. $5$.                                  D. $- 5.$

Câu 3. Cho hai số phức ${z_1} = 15 - 6i$ và ${z_2} = 7 - 6i$. Tìm số phức $z = {z_1} + {z_2}$.

A. $z = 22.$

B. $z = 22 - 12i.$

C. $z = 8 - 12i.$

D. $z = 22 + 12i.$

Câu 4. Cho số phức $z = a + bi,$ với $a,b \in \mathbb{R}$. Tìm mệnh đề đúng.

A. $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .$

B. $\left| z \right| = {a^2} + {b^2}.$

C. $\left| z \right| = \left| {a + b} \right|.$

D. $\left| z \right| = \left| a \right| + \left| b \right|.$

Câu 5. Trong không gian $Oxyz,$ phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A(0;3;0),B(2;0;0),C(0;0;4)$ là

A. $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1.$

B. $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 1.$

C. $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 0.$

D. $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 0.$

Câu 6. Cho số phức $z = 15 - 6i$. Khi đó $z + \bar z$ bằng

A. $30.$                                B. $- 12i.$

C. $0.$                                  D. $261.$

Câu 7. Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 22$ và $\int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)\,} {\rm{d}}x = 24$. Tính $I = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x.$

A. $I = 46.$                          B. $I =  - 46.$

C. $I =  - 2.$                         D. $I = 2.$

Câu 8. Tính $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left( {3x - 1} \right)\sin 3x{\rm{d}}x}$ bằng phương pháp tính tích phân từng phần, đặt $u = 3x - 1$ và ${\rm{d}}v = \sin 3x{\rm{d}}x$. Khi đó:

A. $I = \left. {\left( {1 - 3x} \right)\cos 3x} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\cos 3x{\rm{d}}x} .$

B. $I = \frac{1}{3}\left. {\left( {3x - 1} \right)\cos 3x} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\cos 3x{\rm{d}}x} .$

C. $I = \left. {\left( {1 - 3x} \right)\cos 3x} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\cos 3x{\rm{d}}x} .$

D. $I = \frac{1}{3}\left. {\left( {1 - 3x} \right)\cos 3x} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\cos 3x{\rm{d}}x} .$

Câu 9. Số phức $z = 6 + 7i$ được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bởi điểm:

A. $M\left( {6; - 7} \right).$                                          B. $Q\left( {6;7} \right).$

C. $P\left( { - 6;7} \right).$ D. $N\left( { - 6; - 7} \right).$

Câu 10. Tính $P = (3 + 2i)( - 4 + 5i) - 7i$.

A. $P = 15.$                          B. $P = 5.$

C. $P =  - 22.$                      D. $P = 7.$

Câu 11. Trong không gian $Oxyz,$ phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $I\left( {2;0; - 3} \right)$và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( { - 5;4;3} \right)$ là

A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 5t\\y = 0\\z =  - 3 + 3t.\end{array} \right.$

B. $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 5 + 2t\\y = 4\\z = 3 - 3t.\end{array} \right.$

C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 5t\\y = 4t\\z =  - 3 + 3t.\end{array} \right.$

D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 5t\\y = 4t\\z =  - 3 + 3t.\end{array} \right.$

Câu 12. Trong không gian $Oxyz$, tìm tọa độ của $\overrightarrow x  = \vec i - 5\vec j + 7\vec k.$

A. $\overrightarrow x  = (1; - 5;7).$

B. $\overrightarrow x  = (1;5;7).$

C. $\overrightarrow x  = (1;5; - 7).$

D. $\overrightarrow x  = (0; - 5;7).$

Câu 13. Xét $\int\limits_0^{\sqrt 2 } {\frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{\rm{d}}x}$, nếu đặt $x = 2\sin t,$ với $t \in \left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ thì $\int\limits_0^{\sqrt 2 } {\frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{\rm{d}}x}$ bằng

A. $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos t{\rm{d}}t} .$

B. $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin t{\rm{d}}t} .$

C. $\frac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{\rm{d}}t} .$

D. $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{\rm{d}}t} .$

Câu 14. Trong không gian $Oxyz,$ phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng (Oxz) ?

A. $x + z = 0.$                      B. $x = 0.$

C. $z = 0.$                            D. $y = 0.$

Câu 15. Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $A\left( {2; - 4;3} \right)$ trên mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ là điểm

A. $P\left( {2;0;3} \right).$

B. $N\left( {2; - 4;0} \right).$

C. $M\left( {0; - 4;3} \right).$

D. $Q\left( {0; - 4;0} \right).$

Câu 16. Cho $I = \int\limits_0^{2\sqrt 2 } {2x\sqrt {{x^2} + 1} \,} {\rm{d}}x$ và đặt $u = \sqrt {{x^2} + 1}$. Chọn mệnh đề sai.

A. $I = \left. {\frac{{2{u^3}}}{3}} \right|_1^3.$

B. $I = \int\limits_1^3 {2{u^2}} {\rm{d}}u.$

C. $I = \int\limits_1^3 {2u} {\rm{d}}u.$

D. $I = \frac{{52}}{3} \cdot$

Câu 17. Số phức $1 - 3i$ có phần thực và phần ảo lần lượt là

A. 1 và $- 3.$                       B. 1 và $- 3i.$

C. 1 và 3.                               D. $- 3$ và 1.

Câu 18. Cho số phức $z.$ Tìm mệnh đề đúng.

A. $z.\bar z = {\left| z \right|^2}.$

B. $z.\bar z = \left| z \right|.$

C. $z.\bar z = {z^2}.$

D. $z.\bar z = {\bar z^2}.$

Câu 19.  $\int\limits_1^3 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{3x + 1}}}$ bằng

A.  $\ln \frac{5}{2} \cdot$  B. $3\ln \frac{5}{2} \cdot$

C. $\frac{1}{3}\ln \frac{5}{2} \cdot$                          D. $\frac{1}{3}\ln 40.$

Câu 20. $\int\limits_0^3 {({e^x}{\rm{ + 1)d}}x}$ bằng

A. $e + 2$.                            B. $e - 1$.

C. ${e^3} + 1$.                     D. ${e^3} + 2.$

Câu 21. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;\,b} \right]$. Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ được tính theo công thức:

A. $S =  - \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} .$

B. $S = \left| {\int\limits_a^b {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} } \right|.$

C. $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|\,{\rm{d}}x} .$

D. $S = \int\limits_a^b {\,f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Câu 22. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;\,1;\, - 2} \right)$ và $B\left( {2;\, - 2;\,1} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {AB}$ có tọa độ là:

A. $\left( {3;\,3;\, - 1} \right)$.

B. $\left( { - 1;\,3;\, - 3} \right)$.

C. $\left( {3;\,1;\,1} \right)$.

D. $\left( {1;\, - 3;\,3} \right)$.

Câu 23. Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y = {x^2} + 5,\,y = 0,\,x = 1$ và $x = 3.$ Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay $\left( H \right)$xung quanh trục $Ox.$ Khi đó

A. $V = \int\limits_1^3 {\left( {{x^2} + 5} \right){\rm{d}}x}$.

B. $V = \int\limits_1^3 {{{\left( {{x^2} + 5} \right)}^2}{\rm{d}}x}$.

C. $V = \pi \int\limits_1^3 {\left( {{x^2} + 5} \right){\rm{d}}x}$.

D. $V = \pi \int\limits_1^3 {{{\left( {{x^2} + 5} \right)}^2}{\rm{d}}x}$.

Câu 24. Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $A(1; - 2;3)$ đến mặt phẳng $(P):\,\,x + 4y - 2z - 6 = 0$ bằng

A. $\frac{{19}}{{21}} \cdot$                                        B. $\frac{{19\sqrt {21} }}{{21}} \cdot$

C. $\frac{{\sqrt {21} }}{{21}} \cdot$                          D. $\frac{{21}}{{19}} \cdot$

Câu 25. Trong không gian $Oxyz,$ đường thẳng $d:\frac{{x + 7}}{2} = \frac{{y - 8}}{{ - 2}} = \frac{{z - 9}}{{ - 3}}$ có một vectơ chỉ phương là

A. $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 7;8;9} \right).$

B. $\overrightarrow {{u_4}}  = \left( {7; - 8; - 9} \right).$

C. $\overrightarrow {{u_3}}  = \left( {2;2;3} \right).$

D. $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2; - 2; - 3} \right).$

Câu 26. Gọi $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {7^x}$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$. Khi đó:

A. $S = \pi \int\limits_0^2 {{7^x}{\rm{d}}x}$.

B. $S = \pi \int\limits_0^2 {{7^{2x}}{\rm{d}}x}$.

C. $S = \int\limits_0^2 {{7^{2x}}{\rm{d}}x}$.

D. $S = \int\limits_0^2 {{7^x}{\rm{d}}x}$.

Câu 27. Số phức liên hợp của số phức $z = 3i - 5$ là

A. $\bar z =  - 5 + 3i.$

B. $\bar z = 3i + 5.$

C. $\bar z =  - 5 - 3i.$

D. $\bar z = 5 - 3i.$

Câu 28. Diện tích phần hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng

A. $\int\limits_{ - \frac{1}{3}}^2 {\left( { - 3{x^2} + 5x + 2} \right)\,{\rm{d}}x} .$

B. $\int\limits_{ - \frac{1}{3}}^2 {\left( {3{x^2} - 5x - 2} \right)\,{\rm{d}}x} .$

C. $\int\limits_{ - \frac{1}{3}}^2 {\left( { - {x^2} + x + 2} \right)\,{\rm{d}}x} .$

D. $\int\limits_{ - \frac{1}{3}}^2 {\left( {{x^2} - 5x + 2} \right)\,{\rm{d}}x} .$

Câu 29. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện $\left| z \right| = 2$ là

A. đường tròn tâm $O(0;0),$bán kính bằng 1.

B. đường tròn tâm $I(2;2),$bán kính bằng $\sqrt 2 .$

C. đường tròn tâm $O(0;0),$bán kính bằng $4.$

D. đường tròn tâm $O(0;0),$bán kính bằng $2.$

Câu 30. Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng qua ba điểm $A\left( {1;1;1} \right),B\left( {0;2;3} \right),C\left( { - 2;0;1} \right)$ có một vectơ pháp tuyến là

A. $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;6;4} \right).$

B. $\overrightarrow {{n_4}}  = \left( {2;6; - 4} \right).$

C. $\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {1; - 3; - 2} \right).$

D. $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1; - 3;2} \right).$

Câu 31. Trong không gian $Oxyz$, cho ba vectơ $\overrightarrow a  = ( - 2; - 5;0),$ $\overrightarrow b  = \left( {1;2;1} \right),$ $\overrightarrow c  = \left( {2;3;2} \right)$. Tọa độ $\overrightarrow d  = 3\overrightarrow a  - \overrightarrow b  - 2\overrightarrow c$ là:

A. $\left( {5;27;3} \right)$.

B. $\left( { - 1; - 2;5} \right).$

C. $\left( {0;27;3} \right)$.

D. $( - 11; - 23; - 5).$

Câu 32. Cho số phức $z = a + bi,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ thỏa mãn $\left( {1 + 3i} \right)z + 5\,\bar z = 4 - i.$ Tính $P = a + b$.

A. $P = \frac{1}{{15}} \cdot$                                      B. $P = \frac{7}{{15}} \cdot$

C. $P =  - \frac{{37}}{{15}} \cdot$                              D. $P = \frac{{37}}{{15}} \cdot$

Câu 33. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $I\left( {2;1;3} \right)$ và $A\left( { - 1;3;0} \right).$ Phương trình của mặt cầu có tâm $I$ và đi qua điểm $A$ là

A. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 44.$

B. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} = 44.$

C. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} = 22.$

D. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 22.$

Câu 34. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng qua điểm $M\left( {1;2;1} \right)$ và cắt các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $I,K,H$ sao cho tam giác $IKH$ có trực tâm là $M.$

A. $x + 2y + 3z - 8 = 0.$

B. $3x + y - z - 4 = 0.$

C. $x + 2y + z - 6 = 0.$

D. $2x + 4y + 2z - 9 = 0.$

Câu 35. Cho $\int\limits_0^1 {f\left( {ex} \right){\rm{d}}x}  = 1$, khi đó $\int\limits_0^e {\left[ {f\left( x \right) - e} \right]{\rm{d}}x}$ bằng

A. $e - {e^e}.$                      B. ${e^2} - e.$

C. $2e.$                                 D. $e - {e^2}.$

Câu 36. Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int\limits_0^1 {xf'\left( x \right){\rm{d}}x}  = m$ và $f\left( 1 \right) = 3.$ Khi đó $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$ bằng

A. $m - 3.$                            B. $m + 3.$

C. $3 - m.$                            D. $- m - 3.$

Câu 37. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( {2;\,1;\,3} \right)$ và đường thẳng $d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{2} \cdot$ Đường thẳng đi qua $A$, vuông góc với $d$ và cắt trục $Oy$ có phương trình là

A. $\frac{x}{2} = \frac{{y + 3}}{4} = \frac{z}{3} \cdot$

B. $\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{3} \cdot$

C. $\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 3}}{2} \cdot$

D. $\frac{x}{2} = \frac{{y + 3}}{3} = \frac{z}{2} \cdot$

Câu 38. Tìm các số thực $x,y$ thỏa mãn: $\left( {x + y} \right) + \left( {2x - y} \right)i = 3 - 6i,$ với i là đơn vị ảo.

A. $x =  - 1;y =  - 4.$

B. $x = 1;y =  - 4.$

C. $x = 4;y =  - 1.$

D. $x =  - 1;y = 4.$

Câu 39. Tìm số phức liên hợp của số phức $z = 3i\left( {i - 4} \right)$.

A. $\bar z =  - 3 - 12i.$

B. $\bar z =  - 12 + 3i.$

C. $\bar z = 12 + 3i.$

D. $\bar z =  - 3 + 12i.$

Câu 40. Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ {1;4} \right]$, thỏa mãn$f(4) = 15$ và $\int\limits_1^4 {f'(x){\rm{d}}x = 19} .$ Tính $f(1).$

A. $f(1) =  - 4.$                     B. $f(1) = 4.$

C. $f(1) = 34.$                      D. $f(1) =  - 34.$

Câu 41. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \ln x$, trục hoành và đường thẳng $x = e$ là

A. 2.                                       B. 5.

C. 3.                                       D. 1.

Câu 42. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}},$ $y = 0,$ $x = 0,$ $x = 1$ quay quanh trục $Ox$ là

A. $\pi \left( {\frac{{15}}{6} + 2\ln 2} \right).$

B. $\pi \left( {\frac{{17}}{6} - 2\ln 2} \right).$

C. $\pi \left( {\frac{3}{2} + \ln 2} \right).$

D. $\pi \left( {\frac{{17}}{2} + \ln 2} \right).$

Câu 43. Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện $\left| {z - 1 + 3i} \right| = \left| {z - 2i} \right|$. Giá trị nhỏ nhất của $\left| z \right|$ là

A. $\frac{{3\sqrt {26} }}{{26}} \cdot$

B. $\frac{{\sqrt {26} }}{{13}} \cdot$

C. $\frac{{\sqrt {26} }}{{26}} \cdot$

D. $\frac{{3\sqrt {26} }}{{13}} \cdot$

Câu 44. Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(6;0;0),B(0;0;6),C(0;6;6).$ Xét các điểm $M,N$ di chuyển trên các đoạn $AB$và $OC$ sao cho $AM = ON.$ Khi độ dài đoạn thẳng $MN$ nhỏ nhất, phương trình đường thẳng $MN$ là

A. $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 0.\end{array} \right.$

B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = t\\z = 4 - t.\end{array} \right.$

C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y =  - t\\z = 3.\end{array} \right.$

D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = t\\z = 6.\end{array} \right.$

Câu 45. Vòm cửa lớn của một trung tâm thương mại có dạng parabol như hình vẽ, trong đó khoảng cách $AB = 8\,{\rm{m}}$ và chiều cao của vòm cửa là $CH = 7\,{\rm{m}}.$ Người ta cần ốp kính cho toàn bộ vòm cửa này, khi đó diện tích kính cần dùng ít nhất là:

A. $\frac{{115}}{3}{{\rm{m}}^2}.$  B. $\frac{{120}}{3}{{\rm{m}}^2}.$

C. $\frac{{110}}{3}{{\rm{m}}^2}.$  D. $\frac{{112}}{3}{{\rm{m}}^2}.$

Câu 46. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có $f\left( 1 \right) = \frac{1}{6}$ và $f\prime \left( x \right) = \frac{{ - 2x - 3}}{{{{\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)}^2}}}$, $\forall x \ge 0$. Khi đó $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$ bằng

A. $- \frac{1}{3} \cdot$     B. $\ln \frac{2}{3} \cdot$

C. $\ln \frac{4}{3} \cdot$   D. $- \frac{1}{2} \cdot$

Câu 47. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số thực $m \in \left( {0;2020} \right]$ để $\int\limits_0^m {\sin 2x\sqrt {1 + {{\sin }^2}x} {\rm{d}}x = 0} ?$

A. 643.                                   B. 2020.

C. 642.                                   D. 2019.

Câu 48. Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( {2;0;0} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):3y - 3z + 7 = 0.$ Trên các tia Oy, Oz lần lượt lấy các điểm $B,C$ phân biệt sao cho mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ và khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng $\sqrt 2 .$ Xác định tọa độ điểm B và điểm $C.$

A. $B\left( {0;2\sqrt 2 ;0} \right),C\left( {0;0;2\sqrt 2 } \right).$

B. $B\left( {0;4;0} \right),C\left( {0;0;4} \right).$

C. $B\left( {0;2\sqrt 6 ;0} \right),C\left( {0;0;2\sqrt 6 } \right).$

D. $B\left( {0;16;0} \right),C\left( {0;0;16} \right).$

Câu 49. Cho các số phức ${z_1},{z_2}$ thỏa mãn $\left| {{z_1}} \right| = 2\left| {{z_2}} \right| = 4$ và $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 3.$Tính $\left| {{z_1} + {z_2}} \right|.$

A. $\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt 6 .$

B. $\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \frac{{\sqrt {31} }}{2} \cdot$

C. $\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 6.$

D. $\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt {31} .$

Câu 50. Trong không gian $Oxyz,$ cho ba điểm $A(1;0;0),\,B(3;2;4),\,C(0;5;4)$. Gọi $M(a;b;c)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oyz)$sao cho biểu thức $T = M{A^2} + M{B^2} + 2M{C^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $a + b + c$bằng

A. 0.                                       B. 6.

C. 5.                                       D. 2.

-- Hết --

ĐÁP ÁN

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Thực hiện: Ban chuyên môn Loigiaihay.com

Câu 1:

Phương pháp:

Sử dụng: Mặt phẳng $\left( P \right):ax + by + cz + d = 0$ có 1 VTPT $\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)$

Hướng dẫn giải:

Ta có mặt phẳng $\left( P \right):2x - 3y + z - 7 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n  = \left( {2; - 3;1} \right)$

Đáp án C

Câu 2:

Phương pháp:

Sử dụng: $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b$ $= F\left( b \right) - F\left( a \right)$  với $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right).$

Hướng dẫn giải:

Ta có $\int\limits_1^2 {\left( {1 - \frac{4}{x}} \right){\rm{d}}x}  = \left. {\left( {x - 4\ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2$$= 2 - 4\ln 2 - \left( {1 - 4\ln 1} \right)$$= 1 - 4\ln 2$

Suy ra $a = 1;b =  - 4$ nên $a - b = 1 - \left( { - 4} \right) = 5$

Đáp án C

Câu 3:

Phương pháp:

Sử dụng: Với ${z_1} = {a_1} + {b_1}i;{z_2} = {a_2} + {b_2}i$ (${a_1};{a_2};{b_1};{b_2} \in \mathbb{R}$) thì ${z_1} + {z_2} = \left( {{a_1} + {a_2}} \right) + \left( {{b_1} + {b_2}} \right)i$

Hướng dẫn giải:

Ta có $z = {z_1} + {z_2}$$= 15 - 6i + 7 - 6i = 22 - 12i$

Đáp án B

Câu 4:

Phương pháp:

Cho số phức $z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ thì mô đun $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$

Hướng dẫn giải:

Ta có $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$

Đáp án A

Câu 5:

Phương pháp:

Mặt phẳng đi qua ba điểm $A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)$ với $abc \ne 0$ có phương trình $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt phẳng cần tìm là $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$

Đáp án A

Câu 6:

Phương pháp:

Cho số phức $z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ thì $\overline z  = a - bi$

Muốn cộng hai số phức ta cộng phần thực với nhau, phần ảo với nhau

Hướng dẫn giải:

Ta có $\overline z  = 15 + 6i$

Nên $z + \overline z  = 15 - 6i + 15 + 6i$ $= 30$

Đáp án A

Câu 7:

Phương pháp:

Sử dụng: $\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx = \int\limits_a^c {f\left( x \right)} dx + \int\limits_c^a {f\left( x \right)} dx$

Hướng dẫn giải:

Ta có $\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 22$$\Leftrightarrow \int\limits_3^1 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x =  - 22$

Suy ra $\int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x + \int\limits_3^1 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x$ $= 24 + \left( { - 22} \right) = 2$

Đáp án D

Câu 8:

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần

Hướng dẫn giải:

Ta có $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left( {3x - 1} \right)\sin 3x{\rm{d}}x}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = 3x - 1\\\sin 3xdx = dv\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 3dx\\v =  - \frac{1}{3}\cos 3x\end{array} \right.$

Suy ra $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left( {3x - 1} \right)\sin 3x{\rm{d}}x}$$=  - \left. {\frac{1}{3}\left( {3x - 1} \right)\cos 3x} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\cos 3xdx}$ $= \left. {\frac{1}{3}\left( {1 - 3x} \right)\cos 3x} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\cos 3xdx}$

Đáp án D

Câu 9:

Phương pháp:

Sử dụng: Số phức $z = a + bi$ được biểu diễn bởi điểm $M\left( {a;b} \right)$

Hướng dẫn giải:

Ta có số phức $z = 6 + 7i$ được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bởi điểm $Q\left( {6;7} \right).$

Đáp án B

Câu 10:

Phương pháp:

Tính toán nhân chia, cộng trừ số phức với lưu ý ${i^2} =  - 1$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}P = (3 + 2i)( - 4 + 5i) - 7i\\ =  - 12 + 15i - 8i + 10{i^2} - 7i\\ =  - 12 + 7i - 10 - 7i\\ =  - 22\end{array}$

Đáp án C

Câu 11:

Phương pháp:

Sử dụng: Phương trình đường thẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.$

Hướng dẫn giải:

Phương trình cần tìm là  $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 5t\\y = 4t\\z =  - 3 + 3t.\end{array} \right.$

Đáp án D

Câu 12:

Phương pháp:

Sử dụng: $\overrightarrow u  = a\overrightarrow i  + b\overrightarrow j  + c\overrightarrow k$ thì $\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)$

Hướng dẫn giải:

Ta có $\overrightarrow x  = \vec i - 5\vec j + 7\vec k$$\Rightarrow \overrightarrow x  = \left( {1; - 5;7} \right)$

Đáp án A

Câu 13:

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân

Hướng dẫn giải:

Đặt $x = 2\sin t \Rightarrow dx = 2\cos tdt$

Đổi cận: Với $x = 0 \Rightarrow \sin t = 0$ $\Rightarrow t = 0$

Với $x = \sqrt 2  \Rightarrow \sin t = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ $\Rightarrow t = \frac{\pi }{4}$

Ta có:  $\int\limits_0^{\sqrt 2 } {\frac{1}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{\rm{d}}x}$$= \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{\sqrt {4 - {{\left( {2\sin t} \right)}^2}} }}.2\cos tdt}$

$\begin{array}{l} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{\sqrt {4\left( {1 - {{\sin }^2}t} \right)} }}} 2\cos tdt\\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{2\cos t}}.2\cos tdt}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {dt} \end{array}$

Đáp án D

Câu 14:

Phương pháp:

Sử dụng: Phương trình mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ là $y = 0$

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ là $y = 0$

Đáp án D

Câu 15:

Phương pháp:

Hình chiếu vuông góc của $M\left( {x;y;z} \right)$ lên mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ là $H\left( {x;0;z} \right)$

Hướng dẫn giải:

Hình chiếu vuông góc của $A\left( {2; - 4;3} \right)$ lên mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ là $P\left( {2;0;3} \right).$

Đáp án A

Câu 16:

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân

Hướng dẫn giải:

Đặt $u = \sqrt {{x^2} + 1}$ $\Rightarrow du = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx$$\Rightarrow dx = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}du = \frac{u}{x}du$

Đổi cận: Với $x = 0$ $\Rightarrow u = \sqrt {{0^2} + 1}  = 1$

Với $x = 2\sqrt 2$ $\Rightarrow u = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + 1}  = 3$

Ta có: $I = \int\limits_1^{2\sqrt 2 } {2x\sqrt {{x^2} + 1} \,} {\rm{d}}x$$= \int\limits_1^3 {2x.u.\frac{u}{x}du}$ $= \int\limits_1^3 {2{u^2}du}  = \left. {\frac{2}{3}{u^3}} \right|_1^3$$= \frac{{52}}{3}$

Nên A, B, D đúng, C sai.

Đáp án C

Câu 17:

Phương pháp:

Số phức $z = a + bi$ có phần thực là $a$ và phần ảo là $b$ 

Hướng dẫn giải:

Số phức $z = 1 - 3i$ có phần thực là $1$ và phần ảo là $- 3.$

Đáp án A

Câu 18:

Phương pháp:

Số phức $z = a + bi$ có số phức liên hợp là $\overline z  = a - bi$ và có môđun $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$ 

Hướng dẫn giải:

Gọi số phức $z = a + bi$ thì số phức liên hợp của $z$  là $\overline z  = a - bi$ và môđun $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$ 

Ta có: $z.\overline z  = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right)$ $= {a^2} - {b^2}{i^2} = {a^2} + {b^2} = {\left| z \right|^2}$

Nên $z.\bar z = {\left| z \right|^2}.$

Đáp án A

Câu 19:

Phương pháp:

Sử dụng: $\int {\frac{1}{{ax + b}}dx}  = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C$

Hướng dẫn giải:

Ta có $\int\limits_1^3 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{3x + 1}}}$$= \left. {\frac{1}{3}\ln \left| {3x + 1} \right|} \right|_1^3$ $= \frac{1}{3}\left( {\ln 10 - \ln 4} \right)$$= \frac{1}{3}\ln \frac{{10}}{4} = \frac{1}{3}\ln \frac{5}{2}$

Đáp án C

Câu 20:

Phương pháp:

Sử dụng: $\int {{e^x}dx}  = {e^x} + C$

Hướng dẫn giải:

Ta có $\int\limits_0^3 {({e^x}{\rm{ + 1)d}}x}  = \left. {\left( {{e^x} + x} \right)} \right|_0^3$ $= {e^3} + 3 - \left( {{e^0} + 0} \right)$$= {e^3} + 2$

Đáp án D

Câu 21:

Phương pháp:

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ được tính theo công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|\,{\rm{d}}x} .$

Hướng dẫn giải:

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ được tính theo công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|\,{\rm{d}}x} .$

Đáp án C

Câu 22:

Phương pháp:

Sử dụng: $\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)$ với $A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$

Hướng dẫn giải:

Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( {2 - 1; - 2 - 1;1 - \left( { - 2} \right)} \right)$ $= \left( {1; - 3;3} \right)$

Đáp án D

Câu 23:

Phương pháp:

Hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi $y = f\left( x \right),$ trục hoành và $x = a;x = b$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$ có thể tích là $V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}} dx$

Hướng dẫn giải:

Thể tích $V = \pi \int\limits_1^3 {{{\left( {{x^2} + 5} \right)}^2}{\rm{d}}x}$

Đáp án D

Câu 24:

Phương pháp:

Khoảng cách từ $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):ax + by + cz + d = 0$ là: $d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

Hướng dẫn giải:

Ta có $d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 4\left( { - 2} \right) - 2.3 - 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {4^2} + {2^2}} }}$ $= \frac{{19\sqrt {21} }}{{21}}$

Đáp án B

Câu 25:

Phương pháp:

Sử dụng: Đường thẳng $\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}$  có 1 VTCP là $\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)$

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng $d:\frac{{x + 7}}{2} = \frac{{y - 8}}{{ - 2}} = \frac{{z - 9}}{{ - 3}}$ có một vectơ chỉ phương là  $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2; - 2; - 3} \right).$

Đáp án D

Câu 26:

Phương pháp:

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ được tính theo công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|\,{\rm{d}}x} .$

Hướng dẫn giải:

Ta có $S = \int\limits_0^2 {\left| {{7^x}} \right|{\rm{d}}x}$$= \int\limits_0^2 {{7^x}{\rm{d}}x}$ (vì ${7^x} > 0$ với mọi $x$)

Đáp án D

Câu 27:

Phương pháp:

Số phức $z = a + bi$ có số phức liên hợp là $\overline z  = a - bi$

Hướng dẫn giải:

Số phức liên hợp của số phức $z = 3i - 5$ là $\overline z  =  - 5 - 3i.$

Đáp án C

Câu 28:

Phương pháp:

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$ và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ được tính theo công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|\,{\rm{d}}x} .$

Hướng dẫn giải:

Ta có

 $\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - \frac{1}{3}}^2 {\left| { - {x^2} + 2x + 2 - \left( {2{x^2} - 3x} \right)} \right|dx} \\ = \int\limits_{ - \frac{1}{3}}^2 {\left( { - {x^2} + 2x + 2 - \left( {2{x^2} - 3x} \right)} \right)dx} \\ = \int\limits_{ - \frac{1}{3}}^2 {\left( { - {x^2} + 2x + 2 - 2{x^2} + 3x} \right)dx} \\ = \int\limits_{ - \frac{1}{3}}^2 {\left( { - 3{x^2} + 5x + 2} \right)dx} \end{array}$

Đáp án A

Câu 29:

Phương pháp:

Số phức $z = a + bi$ có môđun $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$  

Hướng dẫn giải:

Gọi $z = x + yi\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)$

Ta có: $\left| z \right| = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}}  = 2$ $\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 4$

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $O\left( {0;0} \right)$ và bán kính $R = 2$.

Đáp án D

Câu 30:

Phương pháp:

Sử dụng: $\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]$ là 1 VTPT của mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$

Hướng dẫn giải:

Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;1;2} \right),$ $\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3; - 1;0} \right)$

Mặt phẳng đi qua ba điểm $A,B,C$ nhận $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2; - 6;4} \right)$ làm 1 VTPT

Suy ra  $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1; - 3;2} \right)$ cũng là 1 VTPT của $\left( {ABC} \right)$

Đáp án D

Câu 31:

Phương pháp:

Sử dụng công thức

$\begin{array}{l}\overrightarrow u  \pm \overrightarrow v  = \left( {{x_1} \pm {x_2};{y_1} \pm {y_2};{z_1} \pm {z_2}} \right)\\k\overrightarrow u  = \left( {k{x_1};k{y_1};k{z_1}} \right)\end{array}$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow d  = 3\overrightarrow a  - \overrightarrow b  - 2\overrightarrow c \\ = 3\left( { - 2; - 5;0} \right) - \left( {1;2;1} \right) - 2\left( {2;3;2} \right)\\ = \left( { - 6; - 15;0} \right) - \left( {1;2;1} \right) - \left( {4;6;4} \right)\\ = \left( { - 11; - 23; - 5} \right)\end{array}$

Đáp án D

Câu 32:

Phương pháp:

Đặt $z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$, thay vào đẳng thức bài cho tìm $a,b$.

Hướng dẫn giải:

Đặt $z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ $\Rightarrow \overline z  = a - bi$ ta có:

$\begin{array}{l}\left( {1 + 3i} \right)z + 5\overline z  = 4 - i\\ \Leftrightarrow \left( {1 + 3i} \right)\left( {a + bi} \right) + 5\left( {a - bi} \right) = 4 - i\\ \Leftrightarrow a + 3ai + bi + 3b{i^2} + 5a - 5bi = 4 - i\\ \Leftrightarrow \left( {6a - 3b} \right) + \left( {3a - 4b} \right)i = 4 - i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - 3b = 4\\3a - 4b =  - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{19}}{{15}}\\b = \frac{6}{5}\end{array} \right.\\ \Rightarrow P = a + b = \frac{{19}}{{15}} + \frac{6}{5} = \frac{{37}}{{15}}\end{array}$

Đáp án D

Câu 33:

Phương pháp:

Mặt cầu tâm I đi qua A nên nhận $R = IA$ là bán kính.

Mặt cầu tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ bán kính $R$ có phương trình:

${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$

Hướng dẫn giải:

$IA = \sqrt {{{\left( { - 1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 3} \right)}^2}}$ $= \sqrt {22}$

Mặt cầu tâm $I\left( {2;1;3} \right)$ và đi qua A nên có bán kính $R = IA = \sqrt {22}$ có phương trình:

${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 22.$

Đáp án D

Câu 34:

Phương pháp:

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và nhận $\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)$ làm VTPT có phương trình: $a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0$

Hướng dẫn giải:

Tam giác IKH có M là trực tâm nên $OM \bot \left( {IKH} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {IKH} \right)$ đi qua $M\left( {1;2;1} \right)$ và nhận $\overrightarrow {OM}  = \left( {1;2;1} \right)$ làm VTPT nên có phương trình:

$\begin{array}{l}1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x + 2y + z - 6 = 0\end{array}$

Đáp án C

Câu 35:

Phương pháp:

Từ tích phân đã cho đặt $t = ex$ tìm tích phân $\int\limits_0^e {f\left( x \right)dx}$.

Từ đó suy ra tích phân cần tính giá trị.

Hướng dẫn giải:

Trong tích phân $\int\limits_0^1 {f\left( {ex} \right){\rm{d}}x}  = 1$, đặt $t = ex$ ta có:

$dt = edx \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{e}$

$x = 0 \Rightarrow t = 0$; $x = 1 \Rightarrow t = e$

Khi đó,

$\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {f\left( {ex} \right){\rm{d}}x}  = 1 \Leftrightarrow \int\limits_0^e {f\left( t \right).\frac{{dt}}{e}}  = 1\\ \Leftrightarrow \frac{1}{e}\int\limits_0^e {f\left( t \right)dt}  = 1\\ \Rightarrow \int\limits_0^e {f\left( t \right)dt}  = e \Rightarrow \int\limits_0^e {f\left( x \right)dx}  = e\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^e {\left[ {f\left( x \right) - e} \right]{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^e {f\left( x \right){\rm{d}}x}  - \int\limits_0^e {{\rm{ed}}x} \\ = e - \left. {ex} \right|_0^e = e - {e^2}\end{array}$

Đáp án D

Câu 36:

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp từng phần, đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right.$

Hướng dẫn giải:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {xf'\left( x \right){\rm{d}}x}  = \left. {xf\left( x \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \\ = 1.f\left( 1 \right) - 0.f\left( 0 \right) - \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \\ = 3 - \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \\ \Rightarrow m = 3 - \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 3 - m\end{array}$

Đáp án C

Câu 37:

Phương pháp:

Gọi tọa độ giao điểm của $\Delta$ với Oy là $\left( {0;m;0} \right)$.

Sử dụng điều kiện $\Delta  \bot d$ tìm $m$. Từ đó viết phương trình $\Delta$.

Hướng dẫn giải:

Gọi $M\left( {0;m;0} \right)$ là giao điểm của $\Delta$ và $Oy$.

Khi đó $\Delta$ đi qua $A,M$ nên nhận $\overrightarrow {AM}  = \left( { - 2;m - 1; - 3} \right)$ làm VTCP.

$d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{2}$ có VTCP $\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1; - 2;2} \right)$.

$\begin{array}{l}\Delta  \bot d \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\ \Leftrightarrow  - 2.1 + \left( {m - 1} \right).\left( { - 2} \right) - 3.2 = 0\\ \Leftrightarrow  - 2 - 2m + 2 - 6 = 0\\ \Leftrightarrow  - 2m - 6 = 0\\ \Leftrightarrow m =  - 3\\ \Rightarrow M\left( {0; - 3;0} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( { - 2; - 4; - 3} \right)\end{array}$

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left( {0; - 3;0} \right)$ và nhận $- \overrightarrow {AM}  = \left( {2;4;3} \right)$ làm VTCP nên có phương trình: $\frac{x}{2} = \frac{{y + 3}}{4} = \frac{z}{3} \cdot$

Đáp án A

Câu 38:

Phương pháp:

Sử dụng hai số phức bằng nhau $z = z' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\left( {x + y} \right) + \left( {2x - y} \right)i = 3 - 6i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\2x - y =  - 6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 4\end{array} \right.\end{array}$

Đáp án D

Câu 39:

Phương pháp:

Tính số phức $z$, từ đó suy ra $\overline z$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}z = 3i\left( {i - 4} \right) = 3{i^2} - 12i\\ =  - 3 - 12i\\ \Rightarrow \overline z  =  - 3 + 12i\end{array}$

Đáp án D

Câu 40:

Phương pháp:

Sử dụng công thức Newton – Leibnitz:

Cho $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$. Khi đó,

$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) - F\left( a \right)$

Hướng dẫn giải:

Ta thấy, $f\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f'\left( x \right)$ nên:

$\begin{array}{l}\int\limits_1^4 {f'(x){\rm{d}}x}  = f\left( 4 \right) - f\left( 1 \right)\\ \Rightarrow 19 = 15 - f\left( 1 \right)\\ \Rightarrow f\left( 1 \right) =  - 4\end{array}$

Đáp án A

Câu 41:

Phương pháp:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = \ln x$ với trục hoành.

Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành, đường thẳng $x = a,x = b$ là: $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$

Hướng dẫn giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: $\ln x = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Diện tích cần tính: $S = \int\limits_1^e {\left| {\ln x} \right|dx}$

Với $1 \le x \le e$ thì $\ln x \ge 0$ nên $\left| {\ln x} \right| = \ln x$. Do đó,

$S = \int\limits_1^e {\ln xdx}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = \left. {x\ln x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {dx} \\ = e\ln e - 1.\ln 1 - \left. x \right|_1^e\\ = e - \left( {e - 1} \right)\\ = e - e + 1 = 1\end{array}$

Đáp án D

Câu 42:

Phương pháp:

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f\left( x \right),$ $y = 0,$ $x = a,$ $x = b$ quay quanh trục $Ox$ là $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}$

Hướng dẫn giải:

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}},$ $y = 0,$ $x = 0,$ $x = 1$ quay quanh trục $Ox$ là:

$\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}} \right)}^2}dx} \\ = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {x + \frac{1}{{x + 1}}} \right)}^2}dx} \\ = \pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + \frac{{2x}}{{x + 1}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)dx} \\ = \pi \left[ {\int\limits_0^1 {{x^2}dx}  + \int\limits_0^1 {\frac{{2x}}{{x + 1}}dx}  + \int\limits_0^1 {\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} } \right]\\ = \pi \left( {I + J + K} \right)\end{array}$

ở đó

$\begin{array}{l}I = \int\limits_0^1 {{x^2}dx}  = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^1 = \frac{1}{3}\\J = \int\limits_0^1 {\frac{{2x}}{{x + 1}}dx}  = 2\int\limits_0^1 {\frac{x}{{x + 1}}dx} \\ = 2\int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = 2\left. {\left( {x - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1\\ = 2\left( {1 - \ln 2} \right) = 2 - 2\ln 2\\K = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} \\ = \left. { - \frac{1}{{x + 1}}} \right|_0^1 =  - \left( {\frac{1}{2} - 1} \right) = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow S = \pi \left( {I + J + K} \right)\\ = \pi \left( {\frac{1}{3} + 2 - 2\ln 2 + \frac{1}{2}} \right)\\ = \pi \left( {\frac{{17}}{6} - 2\ln 2} \right)\end{array}$

Đáp án B

Câu 43:

Phương pháp:

Đặt $z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$, thay vào đẳng thức đã cho tìm mối quan hệ của $a,b$.

Thay vào công thức tính $\left| z \right|$ và tìm GTNN.

Hướng dẫn giải:

Đặt $z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ ta có:

$\begin{array}{l}\left| {z - 1 + 3i} \right| = \left| {z - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {a + bi - 1 + 3i} \right| = \left| {a + bi - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {a - 1} \right) + \left( {b + 3} \right)i} \right| = \left| {a + \left( {b - 2} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b + 3} \right)}^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2a + 1 + {b^2} + 6b + 9\\ = {a^2} + {b^2} - 4b + 4\\ \Leftrightarrow  - 2a + 6b + 10 =  - 4b + 4\\ \Leftrightarrow  - 2a + 10b + 6 = 0\\ \Leftrightarrow a - 5b - 3 = 0\\ \Leftrightarrow a = 5b + 3\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {5b + 3} \right)}^2} + {b^2}} \\ = \sqrt {25{b^2} + 30b + 9 + {b^2}} \\ = \sqrt {26{b^2} + 30b + 9} \\ = \sqrt {26\left( {{b^2} + \frac{{15}}{{13}}b + \frac{{225}}{{676}}} \right) + \frac{9}{{26}}} \\ = \sqrt {26{{\left( {b + \frac{{15}}{{26}}} \right)}^2} + \frac{9}{{26}}} \\ \ge \sqrt {26.0 + \frac{9}{{26}}}  = \frac{{3\sqrt {26} }}{{26}}\end{array}$

$\Rightarrow {\left| z \right|_{\min }} = \frac{{3\sqrt {26} }}{{26}}$ khi $b =  - \frac{{15}}{{26}} \Rightarrow a = \frac{3}{{26}}$ $\Rightarrow z = \frac{3}{{26}} - \frac{{15}}{{26}}i$

Đáp án A

Câu 44:

Phương pháp:

- Viết phương trình các đường thẳng $AB,OC$.

- Gọi tọa độ các điểm $M,N$ theo tham số hóa.

- Thay vào điều kiện $AM = ON$ tìm mối quan hệ giữa hai tham số trên.

- Từ đó tìm GTNN của $MN$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 6;0;6} \right)$, $\overrightarrow {OC}  = \left( {0;6;6} \right)$.

Đường thẳng AB đi qua $A\left( {6;0;0} \right)$ và nhận $\frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;0;1} \right)$ làm VTCP nên $AB:\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - t\\y = 0\\z = t\end{array} \right.$

$M \in AB \Rightarrow M\left( {6 - t;0;t} \right)$ ($0 < t < 6$ do $M$ thuộc đoạn $AB$)

$\Rightarrow AM = \sqrt {{{\left( { - t} \right)}^2} + 0 + {t^2}}  = \sqrt {2{t^2}}$

Đường thẳng $OC$ đi qua $O\left( {0;0;0} \right)$ và nhận $\frac{1}{6}\overrightarrow {OC}  = \left( {0;1;1} \right)$ làm VTCP nên $OC:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = t'\\y = t'\end{array} \right.$

$N \in OC \Rightarrow N\left( {0;t';t'} \right)$ ($0 < t' < 6$ do $N$ thuộc đoạn $OC$)

$\Rightarrow ON = \sqrt {0 + t{'^2} + t{'^2}}  = \sqrt {2t{'^2}}$

Theo giả thiết

$\begin{array}{l}AM = ON\\ \Rightarrow \sqrt {2{t^2}}  = \sqrt {2t{'^2}}  \Leftrightarrow 2{t^2} = 2t{'^2}\\ \Leftrightarrow {t^2} = t{'^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = t'\,\,\left( {TM} \right)\\t =  - t'\,\left( {loai\,do\,t,t' > 0} \right)\end{array} \right.\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow M\left( {6 - t;0;t} \right),N\left( {0;t;t} \right)\\ \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( {t - 6} \right)}^2} + {t^2} + 0} \\ = \sqrt {2{t^2} - 12t + 36} \\ = \sqrt {2\left( {{t^2} - 6t + 9} \right) + 18} \\ = \sqrt {2{{\left( {t - 3} \right)}^2} + 18} \\ \ge \sqrt {2.0 + 18}  = 3\sqrt 2 \\ \Rightarrow MN \ge 3\sqrt 2 \end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi $t = 3$ $\Rightarrow M\left( {3;0;3} \right),N\left( {0;3;3} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( { - 3;3;0} \right)$

Đường thẳng $MN$ đi qua điểm $M\left( {3;0;3} \right)$ và nhận $- \frac{1}{3}\overrightarrow {MN}  = \left( {1; - 1;0} \right)$ làm VTCP nên có phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y =  - t\\z = 3\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}$

Đáp án C

Câu 45:

Phương pháp:

Gắn hệ trục tọa độ, viết phương trình parabol và suy ra diện tích theo công thức:

$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$

Hướng dẫn giải:

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Gọi phương trình parabol là $y = a{x^2} + bx + c$ (P)

$C\left( {0;7} \right)$ là đỉnh nên $- \frac{b}{{2a}} = 0 \Rightarrow b = 0$$\Rightarrow y = a{x^2} + c$.

$\left( P \right)$ đi qua $C\left( {0;7} \right)$ nên $7 = a{.0^2} + c \Rightarrow c = 7$

$\Rightarrow y = a{x^2} + 7$

$B\left( {4;0} \right)$ thuộc $\left( P \right)$ nên $0 = a{.4^2} + 7 \Rightarrow a =  - \frac{7}{{16}}$

$\Rightarrow \left( P \right):y =  - \frac{7}{{16}}{x^2} + 7$

Diện tích cần tìm:

$\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 4}^4 {\left( { - \frac{7}{{16}}{x^2} + 7} \right)dx} \\ = \left. {\left( { - \frac{7}{{16}}.\frac{{{x^3}}}{3} + 7x} \right)} \right|_{ - 4}^4\\ =  - \frac{7}{{16}}\left( {\frac{{{4^3}}}{3} - \frac{{{{\left( { - 4} \right)}^3}}}{3}} \right) + 7\left( {4 + 4} \right)\\ = \frac{{112}}{3}\end{array}$

Đáp án D

Câu 46:

Phương pháp:

Tìm hàm số $f\left( x \right)$ từ giả thiết $f'\left( x \right) = \frac{{ - 2x - 3}}{{{{\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)}^2}}}$ và $f\left( 1 \right) = \frac{1}{6}$.

Thay vào tính tích phân $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}f\prime \left( x \right) = \frac{{ - 2x - 3}}{{{{\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\frac{{ - 2x - 3}}{{{{\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)}^2}}}dx} \end{array}$

Đặt $t = {x^2} + 3x + 2$ $\Rightarrow dt = \left( {2x + 3} \right)dx$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\frac{{ - dt}}{{{t^2}}}}  = \frac{1}{t} + C\\ = \frac{1}{{{x^2} + 3x + 2}} + C\\f\left( 1 \right) = \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{1}{{1 + 3 + 2}} + C = \frac{1}{6}\\ \Rightarrow C = 0\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + 3x + 2}}\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{{x^2} + 3x + 2}}dx} \\ = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}dx} \\ = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}dx} \\ = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{x + 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]dx} \\ = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\ln \left| {x + 1} \right| - \ln \left| {x + 2} \right|} \right)} \right|_0^1\\ = \left. {\left( {\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right|} \right)} \right|_0^1\\ = \ln \frac{2}{3} - \ln \frac{1}{2} = \ln \frac{4}{3}\end{array}$

Đáp án C

Câu 47:

Phương pháp:

Đặt $t = \sqrt {1 + {{\sin }^2}x}$ tính tích phân đã cho.

Hướng dẫn giải:

Đặt $t = \sqrt {1 + {{\sin }^2}x}$

$\Rightarrow {t^2} = 1 + {\sin ^2}x$ $\Rightarrow 2tdt = 2\sin x\cos xdx = \sin 2xdx$

Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow t = 1;$ $x = m \Rightarrow t = \sqrt {1 + {{\sin }^2}m}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^m {\sin 2x\sqrt {1 + {{\sin }^2}x} {\rm{d}}x = 0} \\ \Leftrightarrow \int\limits_1^{\sqrt {1 + {{\sin }^2}m} } {2{t^2}dt}  = 0\\ \Leftrightarrow \left. {\frac{{2{t^3}}}{3}} \right|_1^{\sqrt {1 + {{\sin }^2}m} } = 0\\ \Leftrightarrow \frac{2}{3}{\left( {\sqrt {1 + {{\sin }^2}m} } \right)^3} - \frac{2}{3} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {1 + {{\sin }^2}m} } \right)^3} = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {1 + {{\sin }^2}m}  = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}m = 0 \Leftrightarrow \sin m = 0\\ \Leftrightarrow m = k\pi \end{array}$

Mà

$\begin{array}{l}0 < m \le 2020\\ \Rightarrow 0 < k\pi  \le 2020\\ \Rightarrow 0 < k \le \frac{{2020}}{\pi }\\k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;...;642} \right\}\end{array}$

Vậy có tất cả $642$ giá trị của $m$ thỏa mãn bài toán.

Đáp án C

Câu 48:

Phương pháp:

Gọi tọa độ điểm $B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)$ lần lượt thuộc $Oy,Oz$.

Lập hệ phương trình ẩn $b,c$ vừa gọi.

Giải hệ tìm $b,c$ và kết luận.

Hướng dẫn giải:

Gọi tọa độ điểm $B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)$ lần lượt thuộc tia $Oy,Oz$ ($b,c > 0$)

Phương trình $\left( {ABC} \right)$ là: $\frac{x}{2} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$$\Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{b};\frac{1}{c}} \right)$ là VTPT của $\left( {ABC} \right)$.

$\left( P \right):3y - 3z + 7 = 0$ $\Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {0;3; - 3} \right)$ là VTPT của $\left( P \right)$.

$\begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \bot \left( P \right) \Leftrightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}.0 + \frac{1}{b}.3 + \frac{1}{c}.\left( { - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{3}{b} - \frac{3}{c} = 0 \Leftrightarrow b = c\end{array}$

$\Rightarrow \left( {ABC} \right):\frac{x}{2} + \frac{y}{b} + \frac{z}{b} - 1 = 0$

$\begin{array}{l}d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{b}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{b}} \right)}^2}} }} = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{b}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{b}} \right)}^2}}  = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{b}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{b}} \right)^2} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{4} + \frac{2}{{{b^2}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{{{b^2}}} = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow {b^2} = 8 \Leftrightarrow b = 2\sqrt 2 \left( {do\,b > 0} \right)\\ \Rightarrow B\left( {0;2\sqrt 2 ;0} \right),C\left( {0;0;2\sqrt 2 } \right)\end{array}$

Đáp án A

Câu 49:

Phương pháp:

Chứng minh và sử dụng đẳng thức ${\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)$

Hướng dẫn giải:

Đặt ${z_1} = {a_1} + {b_1}i,{z_2} = {a_2} + {b_2}i$

Ta chứng minh đẳng thức: ${\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2}$ $= 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)$  (*)

$\begin{array}{l} \Rightarrow {z_1} + {z_2} = \left( {{a_1} + {a_2}} \right) + \left( {{b_1} + {b_2}} \right)i\\ \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{a_1} + {a_2}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1} + {b_2}} \right)}^2}} \\ \Rightarrow {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} = {\left( {{a_1} + {a_2}} \right)^2} + {\left( {{b_1} + {b_2}} \right)^2}\\{z_1} - {z_2} = \left( {{a_1} - {a_2}} \right) + \left( {{b_1} - {b_2}} \right)i\\ \Rightarrow \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{a_1} - {a_2}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1} - {b_2}} \right)}^2}} \\ \Rightarrow {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = {\left( {{a_1} - {a_2}} \right)^2} + {\left( {{b_1} - {b_2}} \right)^2}\\ \Rightarrow {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2}\\ = {\left( {{a_1} + {a_2}} \right)^2} + {\left( {{b_1} + {b_2}} \right)^2}\\ + {\left( {{a_1} - {a_2}} \right)^2} + {\left( {{b_1} - {b_2}} \right)^2}\\ = a_1^2 + 2{a_1}{a_2} + a_2^2 + b_1^2 + 2{b_1}{b_2} + b_2^2\\ + a_1^2 - 2{a_1}{a_2} + a_2^2 + b_1^2 - 2{b_1}{b_2} + b_2^2\\ = 2\left( {a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2} \right)\\{\left| {{z_1}} \right|^2} = {\left( {\sqrt {a_1^2 + b_1^2} } \right)^2} = a_1^2 + b_1^2\\{\left| {{z_2}} \right|^2} = {\left( {\sqrt {a_2^2 + b_2^2} } \right)^2} = a_2^2 + b_2^2\\ \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2\end{array}$

$\Rightarrow {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2}$ $= 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)$

Theo bài ra, $\left| {{z_1}} \right| = 4,\left| {{z_2}} \right| = 2,\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 3$ nên:

$\begin{array}{l}{\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {3^2} = 2\left( {{4^2} + {2^2}} \right)\\ \Rightarrow {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} = 31\\ \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt {31} \end{array}$

Đáp án D

Câu 50:

Phương pháp:

Gọi tọa độ điểm $M\left( {0;b;c} \right) \in \left( {Oyz} \right)$.

Thay vào biểu thức $T$ tìm GTNN, từ đó suy ra $b,c$ và kết luận.

Hướng dẫn giải:

$M\left( {a;b;c} \right) \in \left( {Oyz} \right)$ $\Rightarrow M\left( {0;b;c} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow AM = \sqrt {1 + {b^2} + {c^2}} \\BM = \sqrt {9 + {{\left( {b - 2} \right)}^2} + {{\left( {c - 4} \right)}^2}} \\CM = \sqrt {{{\left( {b - 5} \right)}^2} + {{\left( {c - 4} \right)}^2}} \\ \Rightarrow A{M^2} = 1 + {b^2} + {c^2}\\B{M^2} = 9 + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2}\\C{M^2} = {\left( {b - 5} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2}\\ \Rightarrow T = A{M^2} + B{M^2} + 2C{M^2}\\ = 1 + {b^2} + {c^2}\\ + 9 + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2}\\ + 2\left[ {{{\left( {b - 5} \right)}^2} + {{\left( {c - 4} \right)}^2}} \right]\\ = 1 + {b^2} + {c^2}\\ + 9 + {b^2} - 4b + 4 + {c^2} - 8c + 16\\ + 2\left( {{b^2} - 10b + 25 + {c^2} - 8c + 16} \right)\\ = 112 + 4{b^2} + 4{c^2} - 24b - 24c\\ = 4\left( {{b^2} + {c^2} - 6b - 6c + 28} \right)\\ = 4\left[ {{{\left( {b - 3} \right)}^2} + {{\left( {c - 3} \right)}^2} + 10} \right]\\ \ge 4.\left( {0 + 0 + 10} \right) = 40\\ \Rightarrow T \ge 40\end{array}$

$\Rightarrow {T_{\min }} = 40$ khi $b = c = 3$

Vậy $a + b + c = 0 + 3 + 3 = 6$

Đáp án B

Loigiaihay.com