Giải đề thi học kì 1 toán lớp 11 năm 2019 - 2020 sở giáo dục Vĩnh Phúc

 I. PHẦN TRẮC NGHIỆM: (3,0 điểm).

Câu 1. Tập xác định của hàm số $y = \dfrac{1}{{\cos x}}$ là:

A. $D = R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}.$

B. $D = R.$

C. $D = R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}.$

D. $D = \left[ { - 1;1} \right].$

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho điểm $M\left( {1;0} \right).$ Phép quay tâm $O$ góc quay $90^\circ$ biến điểm $M$ thành điểm $M'$ có tọa độ là

A.$\left( { - 1;0} \right).$                 B.$\left( {0;1} \right).$

C. $\left( {1;1} \right).$                    D. $\left( {0; - 1} \right).$

Câu 3. Chu kỳ tuần hoàn của hàm số $y = \cot x$ là

A.$\pi .$                                 B.$3\pi .$

C. $2\pi .$                              D. $\dfrac{\pi }{2}.$

Câu 4. Cho các số tự nhiên $n,k$ thỏa mãn $0 \le k < n.$ Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng ?

A. $A_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!}}.$

B. ${P_n} = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}.$

C.$C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}.$

D. $C_{n + 1}^k = C_{n + 1}^{n - k}.$

Câu 5. Tập nghiệm của phưng trình $2\sin 2x + 1 = 0$ là

A.$S = \left\{ { - \dfrac{\pi }{6} + k\pi ,\dfrac{{7\pi }}{{12}} + k\pi ,k \in Z} \right\}.$

B.$S = \left\{ { - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi ,\dfrac{{7\pi }}{{12}} + k\pi ,k \in Z} \right\}.$

C. $S = \left\{ { - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ,\dfrac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi ,k \in Z} \right\}.$

D. $S = \left\{ { - \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi ,\dfrac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi ,k \in Z} \right\}.$

Câu 6. Có $10$ chiếc bút khác nhau và $8$ quyển sách giáo khoa khác nhau. Một bạn học sinh cần chọn $1$ chiếc bút và $1$ quyển sách. Hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu cách chọn ?

A.$70.$                         B.$60.$

C. $90.$                        D. $80.$

Câu 7. Từ các chữ số $1,5,6,7$ lập được bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số với các chữ số đôi một khác nhau ?

A.$24.$                      B.$64.$

C. $256.$                   D. $12.$

Câu 8. Gieo một con súc sắc ba lần liên tiếp. Xác suất để mặt hai chấm xuất hiện cả ba lần là

A.$\dfrac{1}{{18}}.$            B.$\dfrac{1}{{20}}.$

C.$\dfrac{1}{{216}}.$          D. $\dfrac{1}{{172}}.$

Câu 9. Phép tịnh tiến theo vec tơ $\overrightarrow v$ biến điểm $A$ thành điểm $A'$ và biến điểm $M$ thành điểm $M'.$ Khi đó

A.$\overrightarrow {AM}  = 2\overrightarrow {A'M'} .$

B.$\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {A'M'} .$

C. $3\overrightarrow {AM}  = 2\overrightarrow {A'M'} .$

D. $\overrightarrow {AM}  =  - \overrightarrow {A'M'} .$

Câu 10. Xét hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { - \pi ;0} \right].$ Câu khẳng định nào sau đây là đúng ?

A.Trên mỗi khoảng $\left( { - \pi ; - \dfrac{\pi }{2}} \right);\,\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)$ hàm số đồng biến.

B.Trên khoảng $\left( { - \pi ; - \dfrac{\pi }{2}} \right)$ hàm số đồng biến và trên khoảng $\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)$ hàm số nghịch biến.

C. Trên khoảng $\left( { - \pi ; - \dfrac{\pi }{2}} \right)$ hàm số nghịch biến và trên khoảng $\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)$ hàm số đồng biến.

D. Trên mỗi khoảng $\left( { - \pi ; - \dfrac{\pi }{2}} \right);\,\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)$ hàm số nghịch biến.

Câu 11. Cho hình chóp$S.ABCD,$ hai đường thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau tại điểm $M,$ hai đường thẳng $AB$ và $CD$ cắt nhau tại điểm$N.$ Giao tuyến của mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ là đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây ?

A.$SN.$                     B.$SA.$

C. $MN.$                   D. $SM.$

Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho đường thẳng $d$ có phương trình $x + y - 2 = 0.$ Phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k =  - 2$ biến đường thẳng $d$ thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau ?

A.$2x + 2y = 0.$

B.$2x + 2y - 4 = 0.$

C.$x + y + 4 = 0.$

D. $x + y - 4 = 0$

II. TỰ LUẬN (7đ).

Câu 13 (2,0 điểm).  Giải các  phương trình sau :

a) $\cos 2x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.$

b) $\sin x + \sqrt 3 \cos x = 1.$

Câu 14 (1,0 điểm).  Tính hệ số của ${x^8}$ trong khai triển $P\left( x \right) = {\left( {3x - \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^{24}}.$

Câu 15 (1,0 điểm). Một hộp đựng $7$ viên bi màu trắng và$3$ viên bi màu đen. Lấy ngẫu nhiên đồng thời $3$ viên bi trong hộp đó. Tính xác suất để trong $3$ viên bi được lấy ra có nhiều nhất một viên bi màu trắng.

Câu 16 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho hai điểm $M\left( {4;6} \right)$ và $M'\left( { - 3;5} \right).$ Phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k = \dfrac{1}{2}$ biến điểm $M$ thành điểm $M'.$ Tìm tọa độ điểm $I.$

Câu 17 (1,5 điểm). Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $2a.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AC$ và $BC;$ $P$ là trọng tâm của tam giác $BCD.$

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $\left( {ABP} \right)$ với mặt phẳng $\left( {ACD} \right).$

b) Tính diện tích thiết diện của tứ diện $ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $\left( {MNP} \right).$

Câu 18: (0,5 điểm). Tìm $m$ để phương trình $2\sin x + m\cos x = 1 - m$ có nghiệm $x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right].$ 

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Thực hiện: Ban chuyên môn Loigiaihay.com

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM

Câu 1 (TH)

Phương pháp:

Phân thức $\dfrac{{A\left( x \right)}}{{B\left( x \right)}}$ xác định khi $B\left( x \right) \ne 0$

Cách giải:

ĐK: $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi$

TXD: $D = R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z} \right\}$

Chọn A

Câu 2 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép quay tâm $O$ góc quay $\alpha$ biến $M\left( {x;y} \right)$ thành $M'\left( {x';y'} \right)$ là:

$\left\{ \begin{array}{l}x' = x\cos \alpha  - y\sin \alpha \\y' = x\sin \alpha  + y\cos \alpha \end{array} \right.$

Cách giải:

Ta có tọa độ của điểm $M'$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x' = 1.\cos {90^0} - 0.\sin {90^0} = 0\\y' = 1.\sin {90^0} + 0.\cos {90^0} = 1\end{array} \right.$ 

nên $M'\left( {0;1} \right)$

Chọn B

Câu 3 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức về chu kì tuần hoàn

Cách giải:

Chu kì tuần hoàn của hàm số $y = \cot x$ là $T = \pi$

Chọn A

Câu 4 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức về tổ hợp, chỉnh hợp

Cách giải:

Ta có $C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$ nên C đúng.

Chọn C

Câu 5 (TH)

Phương pháp:

Đưa về giải phương trình cơ bản $\sin f\left( x \right) = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = \alpha  + k2\pi \\f\left( x \right) = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.$

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}2\sin 2x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \sin 2x =  - \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\2x = \pi  - \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.,\,k \in Z\end{array}$

Chọn B

Câu 6 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức về tổ hợp

Cách giải:

Số cách chọn 1 chiếc bút là $C_{10}^1 = 10$ cách

Số cách chọn 1 quyển sách là $C_8^1 = 8$ cách

Vậy bạn đó có $10.8 = 80$ cách chọn 1 chiếc bút và 1 quyển sách

Chọn D

Câu 7 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức về chỉnh hợp

Cách giải:

Số các số thỏa mãn đề bài là $A_4^4 = 24$ số

Chọn A

Câu 8 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng $P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}$ với $n\left( A \right)$ là số phần tử của biến cố A và $n\left( \Omega  \right)$ là số phần tử của không gian mẫu

Cách giải:

Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega  \right) = {6^3} = 216$

Gọi $A$ là biến cố “mặt hai chấm xuất hiện cả ba lần”

Suy ra $n\left( A \right) = 1.1.1 = 1$

Xác suất cần tìm là: $P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{1}{{216}}$

Chọn C

Câu 9 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng: Phép tịnh tiến theo véc tơ $\overrightarrow v$ biến $M$ thành $M'$ thì $\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow v$

Cách giải:

Từ giả thiết ta có: $\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow v$

Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow v \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MM'}  + \overrightarrow {M'A'}  = \overrightarrow v \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {M'A'}  + \overrightarrow v  = \overrightarrow v \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {M'A'}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {A'M'} \end{array}$

Chọn B

Câu 10 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức về hàm số $y = \sin x$

Hàm số $y = \sin x$ đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\dfrac{\pi }{2} + k2\pi } \right)$

Cách giải:

Hàm số $y = \sin x$ đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\dfrac{\pi }{2} + k2\pi } \right)$

Nên trên đoạn $\left[ { - \pi ;0} \right]$ thì hàm số nghịch biến trên $\left( { - \pi ;\dfrac{{ - \pi }}{2}} \right)$ và đồng biến trên $\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)$

Chọn C

Câu 11 (TH)

Phương pháp:

Nếu đường thẳng $d$ đồng thời nằm trong  cả hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ thì $d$ là giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$

Cách giải:

Ta có $N \in AB,\,N \in CD$ nên $\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {SAB} \right)\\N \in \left( {SCD} \right)\end{array} \right.$

Suy ra giao tuyến của $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ là $SN.$

Chọn A

Câu 12 (VD)

Phương pháp:

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k$ biến $M$ thành $M'$ thì $\left\{ \begin{array}{l}x' = kx\\y' = ky\end{array} \right.$

Cách giải:

Gọi $M\left( {x;y} \right) \in d:x + y - 2 = 0$

${V_{\left( {O; - 2} \right)}}\left( M \right) = M'\left( {x';y'} \right) \in d'$ là ảnh của $d$ qua ${V_{\left( {O; - 2} \right)}}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x' =  - 2x\\y' =  - 2y\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{{x'}}{2}\\y = \dfrac{{ - y'}}{2}\end{array} \right. \\\Rightarrow M\left( {\dfrac{{ - x'}}{2};\dfrac{{ - y'}}{2}} \right)$

Thay tọa độ $M$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được:

$\begin{array}{l}\dfrac{{ - x'}}{2} + \dfrac{{ - y'}}{2} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x' + y' + 4 = 0\end{array}$

Phương trình đường thẳng $d':x + y + 4 = 0$

Chọn C

PHẦN II: TỰ LUẬN

Câu 13 (VD)

Phương pháp:

a)  Giải phương trình $\cos f\left( x \right) = \cos \alpha  \Leftrightarrow f\left( x \right) =  \pm \alpha  + k2\pi$

b) Chia cả hai vế cho $2$ rồi sử dụng công thức $\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$

Đưa về $\sin f\left( x \right) = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = \alpha  + k2\pi \\f\left( x \right) = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.$

Cách giải:

a)  Ta có : $\cos 2x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \dfrac{\pi }{6} \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\2x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\x =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$

Vậy phương trình có nghiệm $x =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi$ và $x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi ,k \in Z.$

b) Ta có $\sin x + \sqrt 3 \cos x = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{6}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{3} = \pi  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

Vậy phương trình có nghiệm $x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi$ và $x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z.$

Câu 14 (VD)

Phương pháp:

Sử dụng: ${\left( {a - b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 1}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}}$

Cách giải:

Ta có : $P\left( x \right) = {\left( {3x - \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^{24}} = \sum\limits_{k = 0}^{24} {C_{24}^k{{\left( {3x} \right)}^{24 - k}}.{{\left( { - \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)}^k}}$

$= \sum\limits_{k = 0}^{24} {{{\left( { - 1} \right)}^k}.C_{24}^k{{.3}^{24 - k}}.{x^{24 - 4k}}}$

Hệ số của ${x^8}$ là ${\left( { - 1} \right)^k}.C_{24}^k{3^{24 - k}},$ ứng với $24 - 4k = 8 \Leftrightarrow k = 4\,\left( {tm} \right)$

Vậy hệ số của ${x^8}$ trong khai triểu $P\left( x \right) = {\left( {3x - \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^{24}}$ là :

${\left( { - 1} \right)^4}.C_{24}^4{3^{24 - 4}} = {3^{20}}.C_{24}^4$

Câu 15 (VD)

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính xác suất $P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}$

Với $n\left( A \right)$ là số phần tử của biến cố A và $n\left( \Omega  \right)$ là số phần tử của không gian mẫu

Cách giải:

Số phần tử của không gian mẫu : $n\left( \Omega  \right) = C_{10}^3 = 120.$

Gọi $A$ là biến cố lấy được $3$ viên bi, trong đó có nhiều nhất $1$ viên bi trắng.

Ta có các trường hợp :

TH1: Ba viên bi được chọn đều màu đen (không có bi trắng)

 Số cách chọn là : $C_3^3.$

TH2: Ba viên bi được chọn có $2$ viên bi màu đen, $1$ viên bi màu trắng.

Số cách chọn là : $C_3^2C_7^1$

Như vậy: Số phần tử của biến cố $A$ là: $n\left( A \right) = C_3^3 + C_3^2C_7^1 = 22.$

Vậy xác suất cần tìm là : $P\left( A \right) = \dfrac{{22}}{{120}} = \dfrac{{11}}{{60}}.$

Câu 16 (VD):

Phương pháp:

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm $I\left( {a;b} \right)$ tỉ số $k$ biến $M$ thành $M'$ thì $\left\{ \begin{array}{l}x' = kx + \left( {1 - k} \right)a\\y' = ky + \left( {1 - k} \right)b\end{array} \right.$

Hoặc sử dụng $\overrightarrow {IM'}  = k\overrightarrow {IM}$

Cách giải:

Đặt tọa độ tâm $I$ là $I\left( {x;y} \right).$ Khi đó $\overrightarrow {IM}  = \left( {4 - x;6 - y} \right);\,\\\overrightarrow {IM'}  = \left( { - 3 - x;5 - y} \right)$

Theo định nghĩa của phép vị tự tâm $I,$ ta có : $\overrightarrow {IM'}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {IM} \left( * \right)$

$\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 - x = \dfrac{1}{2}\left( {4 - x} \right)\\5 - y = \dfrac{1}{2}\left( {6 - y} \right)\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 10\\y = 4\end{array} \right.$

Vậy $I\left( { - 10;4} \right).$

Câu 17 (VD)

Phương pháp:

a) Gọi $Q = BP \cap CD.$ Từ đó suy ra giao tuyến

b) Xác định thiết diện rồi tính diện tích tam giác theo công thức $S = \dfrac{1}{2}ah$ với $a$ là cạnh đáy và $h$ là chiều cao tương ứng.

Cách giải:

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh bằng $2a.$ Gọi  $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AC$ và $BC$; $P$ là trọng tâm của tam giác $BCD.$

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $\left( {ABP} \right)$ với mặt phẳng $\left( {ACD} \right).$

Trong mặt phẳng $\left( {BCD} \right),$ gọi $Q = BP \cap CD.$

Khi đó $\left( {ABP} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AQ.$

b) Tính diện tích thiết diện của tứ diện $ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $\left( {MNP} \right).$

Ta có : $N,P,D$ thẳng hàng suy ra $\left( {MNP} \right) \equiv \left( {MDN} \right)$

Lại có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {MND} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN\\\left( {MND} \right) \cap \left( {ABD} \right) = MD\\\left( {MND} \right) \cap \left( {DBC} \right) = DN\end{array} \right.$

Vậy thiết diện là tam giác $MND.$

Xét ta giác $MND,$ ta có $MN = \dfrac{{AB}}{2} = a;$ $DM = DN = \dfrac{{AD\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3$

Tam giác $MND$ cân tại $D.$

Gọi $H$ là trung điểm $MN$ suy ra $DH \bot MN.$

Diện tích tam giác ${S_{\Delta MND}} = \dfrac{1}{2}MN.DH \\= \dfrac{1}{2}MN.\sqrt {D{M^2} - M{H^2}}  = \dfrac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}.$

Câu 18 (VDC):

Phương pháp:

Đặt $t = \tan \dfrac{x}{2},$ khi đó $\sin x = \dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}};\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}$

Biện luận phương trình theo ẩn $t.$

Cách giải:

Đặt $t = \tan \dfrac{x}{2},$ khi $x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]$ thì $t \in \left[ { - 1;1} \right].$

Phương trình trở thành $2\dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + m\dfrac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = 1 - m$ $\Leftrightarrow 4t + m - m{t^2} = 1 - m + \left( {1 - m} \right){t^2}$

$\Leftrightarrow {t^2} - 4t + 1 = 2m\left( 2 \right)$

Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm $x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]$ khi $\left( 2 \right)$ có nghiệm $t \in \left[ { - 1;1} \right].$

Xét hàm số $y = {t^2} - 4t + 1$ trên $\left[ { - 1;1} \right].$ Ta có bảng biến thiên

Từ BBT ta có : $- 2 \le 2m \le 6 \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 3.$

Vậy $- 1 \le m \le 3.$

Loigiaihay.com