Giải đề thi học kì 1 toán lớp 10 năm 2020-2021 trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong, TP. HCM

Đề bài

Câu 1(1 điểm). Cho $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c$. Tìm $a,b,c$ biết $\left( P \right)$ có trục đối xứng là đường thẳng ${\rm{x}} = 2$ và (P) đi qua điểm $A\left( {0;1} \right),B\left( {1; - 2} \right)$.

Câu 2(1 điểm). Giải phương trình $\sqrt {{x^2} - 3x + 2}  = x - 1$

Câu 3(1 điểm). Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 1} \right)x + 6y = {m^2} + 3m + 5\\x + my = {m^3} - 3\end{array} \right.$

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho hệ phương trình có nghiệm.

Câu 4(1 điểm). Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 5\\{x^2} + {y^2} + 3xy = 11\end{array} \right.$

Câu 5(1 điểm). Cho phương trình $\dfrac{{2{x^2} - 8x + m}}{{{x^2} - 4x + 3}} = 1$. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm.

Câu 6(3 điểm). Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết $A\left( {2; - 1} \right),B\left( {1;2} \right),C\left( {4;3} \right)$.

a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân.

b) Tìm giao điểm của đường thẳng AB và trục tung.

c) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình thang có $AD//BC$ và diện tích ABCD bằng 15.

Câu 7(1 điểm). Cho hình vuông ABCD cạnh a, gọi I là giao điểm của AC và BD, M là điểm thỏa mãn $M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2} + 2M{{\rm{D}}^2} = 12{{\rm{a}}^2}$, tính MI.

Câu 8(1 điểm). Cho các số thực x,y thỏa mãn ${{\rm{x}}^2} + {y^2} + xy = 3$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $P = {x^4} + {y^4} + 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 12xy$.

Lời giải chi tiết

Câu 1(VD).

Phương pháp:

Hàm số $y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$ nhận đường thẳng $x =  - \dfrac{b}{{2a}}$ làm trục đối xứng.

(P) đi qua $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ khi và chỉ khi ${y_0} = a{x_0} + b{x_0} + c$.

Lời giải:

$\left( P \right)$ có trục đối xứng là đường thẳng $x = 2$ nên $- \dfrac{b}{{2{\rm{a}}}} = 2 \Leftrightarrow b =  - 4{\rm{a}}$.(1)

$\left( P \right)$ đi qua $A\left( {0;1} \right),B\left( {1; - 2} \right)$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}1 = c\\ - 2 = a + b + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1\\a + b =  - 3(2)\end{array} \right.$

Từ (1) và (2) ta có :

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b =  - 4{\rm{a}}\\a + b =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 4{\rm{a}}\\ - 3{\rm{a}} =  - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 4{\rm{a}}\\a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 4\\a = 1\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $a = 1;b =  - 4;c = 1$

Câu 2(VD).

Phương pháp:

$\sqrt {f\left( x \right)}  = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.$

Lời giải:

$\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - 3x + 2}  = x - 1\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 3x + 2 = {x^2} - 2x + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\end{array}$

Câu 3(VD)

Phương pháp:

Tìm điều kiện để hệ phương trình vô nghiệm rồi lấy phần bù.

Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\{a'}&{b'}\end{array}} \right| = ab' - a'b = 0\\\left[ \begin{array}{l}{D_x} = cb' - c'b \ne 0\\{D_y} = ac' - a'c \ne 0\end{array} \right.\end{array} \right.$

Lời giải:

Xét $D = ab' - a'b = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 3\end{array} \right.$

Với $m = 2$,  thì ${D_x} = {D_y} = 0$, hệ có vô số nghiệm.

Với $m =  - 3$,

$\begin{array}{l}{D_x} =  - 6\left( {{m^3} - 3} \right) + \left( {{m^2} + 3m + 5} \right).m\\ = 195 \ne 0\end{array}$

$\Rightarrow m =  - 3$ thì hệ vô nghiệm.

Câu 4(VD)

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp thế. Rút $x$ từ phương trình thứ nhất thế vào phương trình thứ hai.

Lời giải:

 $\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 5\\{x^2} + {y^2} + 3xy = 11\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 2y\\{\left( {5 - 2y} \right)^2} + {y^2} + 3.\left( {5 - 2y} \right).y = 11\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 2y\\ - {y^2} - 5y + 14 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 2y\\\left[ \begin{array}{l}y = 2\\y =  - 7\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2;x = 1\\y =  - 7;x = 19\end{array} \right.\end{array}$

Câu 5.(VD)

Phương pháp:

Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Quy đồng 2 vế của phương trình. Cô lập m và sử dụng bảng biến thiên để biện luận nghiệm.

Lời giải:

ĐKXĐ: $x \ne 1;x \ne 3$

$\begin{array}{l}\dfrac{{2{x^2} - 8x + m}}{{{x^2} - 4x + 3}} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2} - 8x + m - \left( {{x^2} - 4x + 3} \right)}}{{{x^2} - 4x + 3}} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 4x - 3 + m}}{{{x^2} - 4x + 3}} = 0\\ \Rightarrow {x^2} - 4x - 3 + m = 0\left( 1 \right)\end{array}$

Để hàm số đã cho có nghiệm thì $\left( 1 \right)$ có nghiệm thỏa mãn điều kiện xác định, tức là:$\left\{ \begin{array}{l}1 - 4 - 3 + m \ne 0\\{3^2} - 4.3 - 3 + m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne 6$

Xét hàm số $f\left( x \right) = {x^2} - 4x - 3$ có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có đường thẳng $y =  - m$ cắt đồ thị khi và chỉ khi $- m \ge  - 7 \Leftrightarrow m \le 7$.

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi $m \le 7;m \ne 6$.

Câu 6.(VD)

Phương pháp:

a) Tìm $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC}$. So sánh độ dài các vectơ và tính tích vô hướng của các vectơ.

b) Viết phương trình đường thẳng qua A và B: đi qua A và nhận $\overrightarrow {BC}$ làm vectơ pháp tuyến.

Điểm trên trục tung có dạng $x = 0$

c) Lập phương trình đường thẳng AD. Tham số hóa điểm D. Tìm điều kiện của D để ABCD là hình bình hành.

Lời giải:

a) $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;3} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( {2;4} \right);\overrightarrow {BC}  = \left( {3;1} \right)$

Ta có: $AB = BC = \sqrt {10} ;\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = 0$.

Vậy $\Delta ABC$ vuông cân tại B.

b)

$\begin{array}{l}AB:3\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3x + y - 5 = 0\end{array}$

Giao điểm của AB và trục tung là $M\left( {0;{y_M}} \right)$ khi đó $3.0 + {y_M} - 5 = 0 \Leftrightarrow {y_M} = 5$

Vậy $M\left( {0;5} \right)$ là điểm cần tìm.

c)

$\begin{array}{l}BC:1\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x - 3y + 5 = 0\end{array}$

ABCD là hình thang có $AD//BC$ nên phương trình đường thẳng AD  có dạng: $1\left( {x - 2} \right) - 3\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 5 = 0$. Khi đó tọa độ của D là:

$D\left( {3d + 5;d} \right)$

Do D và C phải cùng phía nhau so với AB nên $\begin{array}{l}\left( {3.{x_C} + {y_C} - 5} \right)\left( {3{x_D} + {y_D} - 5} \right) > 0\\ \Leftrightarrow d >  - 1\\ \Rightarrow AD = \sqrt {{{\left( {3d + 5 - 2} \right)}^2} + {{\left( {d + 1} \right)}^2}} \\ = \sqrt {10} .\left( {d + 1} \right)\end{array}$

Chiều cao của hình thang ABCD là $d\left( {A,BC} \right) = \dfrac{{\left| {2 - 3.\left( { - 1} \right) + 5} \right|}}{{\sqrt {10} }} = \sqrt {10}$

Diện tích ABCD là

$\begin{array}{l}S = \dfrac{1}{2}.\sqrt {10} .\left( {BC + AD} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\sqrt {10} .\left( {\sqrt {10}  + \left( {d + 1} \right)\sqrt {10} } \right)\\ = 5.\left( {d + 2} \right) = 15 \Rightarrow d = 1\end{array}$

Vậy $D\left( {8;1} \right)$

Câu 7.(VD)

Phương pháp:

Công thức đường trung tuyến tam giác MAC với I là trung điểm AC: $M{I^2} = \dfrac{{M{A^2} + M{C^2}}}{2} - \dfrac{{A{C^2}}}{4}$

Chứng minh $M{A^2} + M{C^2} = M{B^2} + M{D^2}$ và biểu diễn chúng theo a.

Lời giải:

Tam giác MAC với I là trung điểm AC có :$M{I^2} = \dfrac{{M{A^2} + M{C^2}}}{2} - \dfrac{{A{C^2}}}{4}$.

Tương tự $M{I^2} = \dfrac{{M{B^2} + M{D^2}}}{2} - \dfrac{{B{D^2}}}{4}$

Vì $AC = BD = a\sqrt 2$ nên :$M{A^2} + M{C^2} = M{B^2} + M{D^2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3\left( {M{A^2} + M{C^2}} \right) = 12{{\rm{a}}^2}\\ \Rightarrow M{A^2} + M{C^2} = 4{{\rm{a}}^2}\\ \Rightarrow M{I^2} = 2{{\rm{a}}^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{3{{\rm{a}}^2}}}{2}\\ \Rightarrow MI = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\end{array}$

Câu 8(VDC).

Phương pháp:

Tìm điều kiện của $xy$

Biểu diễn $P$ về hàm số bậc hai của $xy$. Tìm GTLN, GTNN của hàm số này trên tập xác định của xy.

Lời giải:

$\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + xy = 3\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} = 3 + xy \ge 0 \Rightarrow xy \ge  - 3\\{\left( {x - y} \right)^2} = 3 - 3xy \ge 0 \Rightarrow xy \le 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow  - 3 \le xy \le 1\end{array}$

$\begin{array}{l}P = {x^4} + {y^4} + 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 12xy\\ = {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - 2{x^2}{y^2} + 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 12xy\\ = {\left( {3 - xy} \right)^2} + 2\left( {3 - xy} \right) + 12xy - 2{x^2}{y^2}\\ =  - {x^2}{y^2} + 4xy + 15\end{array}$

Đặt $xy = t$

$\Rightarrow P = P\left( t \right) =  - {t^2} + 4t + 15$

Ta tìm GTLN, GTNN của hàm số $P\left( t \right)$ trên $\left[ { - 3;1} \right]$

Hàm số $P\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( { - \infty ;2} \right)$ nên đồng biến trên $\left[ { - 3;1} \right]$. Do đó,

$\begin{array}{l}MaxP = P\left( 1 \right) = 18 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 1\\x = y\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 1\\x = y =  - 1\end{array} \right.\\MinP = P\left( { - 3} \right) =  - 6 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy =  - 3\\x =  - y\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - y = \sqrt 3 \\x =  - y =  - \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array}$

Loigiaihay.com