Đề thi học kì 1 môn toán lớp 10 năm 2019 - 2020 trường THPT Đào Duy Từ

Mã đề thi 486

PHẦN I : TRẮC NGHIỆM

Câu 1 (TH): Nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 2 x - y =  - 1\\3x - \sqrt 2 y = 2\end{array} \right.$ là

A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - \sqrt 2 \\y = 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right.$   

B. $\left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt 2  - 2\\y = 2\sqrt 2  - 3\end{array} \right.$   

C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 2 \\y = 3 + 2\sqrt 2 \end{array} \right.$   

D. $\left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt 2  + 2\\y = 2\sqrt 2  - 3\end{array} \right.$

Câu 2 (TH): Cho $\overrightarrow u  = \left( {2; - 2} \right),\,\,\overrightarrow v  = \left( {1;8} \right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow u  + \overrightarrow v$ và $\overrightarrow b  = \left( {1;2} \right)$ cùng hướng 

B.  $2\overrightarrow u  + \overrightarrow v ,\,\,\overrightarrow v$ cùng phương              

C. $\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v$ cùng phương           

D. $\overrightarrow u  - \overrightarrow v$ và $\overrightarrow a  = \left( {1; - 10} \right)$ ngược hướng

Câu 3 (TH): Hàm số nào trong 4 phương án liệt kê ở A, B, C, D có đồ thị như hình bên ?

A. $y = {x^2} - 4x + 3$                                     B. $y = 2{x^2} + 8x + 3$                                     C. $y = {x^2} + 4x + 3$                                          D. $y =  - {x^2} - 4x + 3$

Câu 4 (NB): Trong các hàm số sau, hàm số bậc nhất là :

A. $y = \dfrac{{2x - 2}}{3}$                  B. $y = \dfrac{{ - 2}}{{2x + 1}}$         C. $y = \dfrac{{mx + 1}}{x}$           D. $y = \sqrt {mx + x}$

Câu 5 (TH): Điều kiện của $m$ để phương trình $\left( {{m^2} - 5} \right)x - 1 = m - x$ có nghiệm duy nhất là :

A. $m \ne  \pm \sqrt 5$                   B. $m \ne  - 2$            C. $m \ne 2$        D. $m \ne  \pm 2$

Câu 6 (TH): Tam giác $ABC$ vuông ở $A$ và có góc $\widehat B = 40^\circ$. Hệ thức nào sau đây là đúng ?

A. $\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {BC} } \right) = 140^\circ$    B. $\left( {\overrightarrow {BC} ,\,\,\overrightarrow {AC} } \right) = 140^\circ$         C. $\left( {\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {CB} } \right) = 40^\circ$     D. $\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CB} } \right) = 50^\circ$

Câu 7 (TH): Cho $3$ điểm $A\left( {1;4} \right);\,\,B\left( {3;2} \right)\,;\,\,C\left( {5;4} \right)$. Chu vi tam giác $ABC$ bằng bao nhiêu ?

A. $8 + 8\sqrt 2$          B. $4 + 4\sqrt 2$     C. $4 + 2\sqrt 2$     D. $2 + 2\sqrt 2$

Câu 8 (TH): Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)x - y = 2\\ - 2x + my = 1\end{array} \right.$ có vô nghiệm khi?

A. $\left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m = 2\end{array} \right.$               B. $\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 2\end{array} \right.$                              C. $\left[ \begin{array}{l}m \ne  - 1\\m \ne 2\end{array} \right.$                         D. $\left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m =  - 2\end{array} \right.$

Câu 9 (VD): Các đường thẳng $y =  - 5\left( {x + 2} \right);y = ax + 3;y = 3x + a$ đồng quy với giá trị của $a$ là:

A. $- 11$                     B. $- 18$                      C. $- 12$                                 D. $- 10$

Câu 10 (NB): Cho hàm số $y = a{x^2} + bx + c\left( {a < 0} \right)$ có đồ thị $\left( P \right)$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right)$                  

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right)$       

C. Đồ thị luôn cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.                                 

D. Đồ thị có trục đối xứng là đường thẳng $x =  - \dfrac{b}{{2a}}$

Câu 11 (VD): Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 4\\xy = 5\end{array} \right.$ là:

A.$3$                            B. $2$                           C.$1$                            D. $4$

Câu 12 (TH): Gọi ${x_1},{x_2}$ là 2 nghiệm của phương trình ${x^2} - 3x + 2 = 0$. Tổng $x_1^2 + x_2^2$ bằng:                                    

A. $10$                         B. $9$                           C. $5$                           D. $8$

Câu 13 (TH): Cho biết $\sin \dfrac{\alpha }{3} = \dfrac{4}{5}$. Giá trị của $P = 2{\sin ^2}\dfrac{\alpha }{3} + 5{\cos ^2}\dfrac{\alpha }{3}$ bằng bao nhiêu?

A.$P = \dfrac{{93}}{{25}}$            B.$P = \dfrac{{109}}{{25}}$      C.$P = \dfrac{{111}}{{25}}$       D. $P = \dfrac{{107}}{{25}}$

Câu 14 (VD): Cho tam giác $ABC$ có $A\left( { - 4;0} \right)$, $B\left( {4;6} \right)$, $C\left( { - 1;4} \right)$. Trực tâm của tam giác $ABC$ có tọa độ là:

A. $\left( {\dfrac{{76}}{7}; - \dfrac{{120}}{7}} \right)$                 B. $\left( {0;2} \right)$                C.$\left( {4;0} \right)$        D. $\left( { - \dfrac{{76}}{7};\dfrac{{120}}{7}} \right)$

Câu 15 (VD): Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{y} = 12\\\dfrac{5}{x} - \dfrac{3}{y} = 1\end{array} \right.$ có nghiệm là:

A. $\left( { - 1; - 2} \right)$            B. $\left( { - 1; - \dfrac{1}{2}} \right)$       C. $\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3}} \right)$       D. $\left( { - 1;2} \right)$

Câu 16 (TH): Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}mx + y = m - 3\\4x + my =  - 2\end{array} \right.$ có nghiệm duy nhất khi:

A. $m = 2$                   B. $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m \ne  - 2\end{array} \right.$                                       C. $m =  - 2$                D. $\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 2\end{array} \right.$

Câu 17 (TH): Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số $y = \left| {2{x^2} - 3} \right|$

A. $\left( {0; - 3} \right)$                                   B. $\left( { - 1; - 1} \right)$      C.$\left( { - 2;5} \right)$                  D.$\left( { - 2;12} \right)$               

Câu 18 (TH): Cho hàm số $y = 2{x^2} - 4x + 3$ có đồ thị là Parabol $\left( P \right)$. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\left( P \right)$ có trục đối xứng là $d:x = 1$                                  

B. $\left( P \right)$ có đỉnh là $S\left( { - 1;9} \right)$                          

C. $\left( P \right)$ không có giao điểm với trục hoành

D. $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( { - 1;9} \right)$

Câu 19 (VD): Cho tam giác $ABC$ có $A\left( {2;0} \right),\,\,B\left( {0;3} \right)\,,\,\,C\left( { - 3;1} \right)$. Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với $BC$ có phương trình là

A. $2x - 3y - 4 = 0$       B. $5x + y - 3 = 0$   C. $x + 5y - 15 = 0$ D. $x - 15y + 15 = 0$

Câu 20 (TH): Hàm số nào sau đây đồng biến trong khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ ?

A. $y = \sqrt 2 {\left( {x + 1} \right)^2}$       B. $\sqrt 2 {x^2} + 1$       C. $- \sqrt 2 {\left( {x + 1} \right)^2}$        D. $- \sqrt 2 {x^2} + 1$

Câu 21 (TH): Vectơ  nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.$

A. $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 1} \right)$                    B. $\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {1; - 2} \right)$                     C. $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;2} \right)$                          D. $\overrightarrow {{n_4}}  = \left( {1;2} \right)$

Câu 22 (VD): Cho phương trình $\left( {1 - \sqrt 2 } \right){x^4} - \left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right){x^2} + \sqrt 3  = 0$. Số các nghiệm dương của phương trình là

A. $2$                           B. $3$                       C. $4$                      D. $1$

Câu 23 (VD): Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho ba điểm $A\left( {1;1} \right)\,,\,\,B\left( {2; - 1} \right)\,,\,\,C\left( {4;3} \right)$. Tọa độ điểm $D$ để $ABDC$ là hình bình hành là :

A. $D\left( {1;3} \right)$                                B. $D\left( {3;5} \right)$               C. $D\left( {3;1} \right)$                          D. $D\left( {5;1} \right)$

Câu 24 (TH): Tam giác $ABC$ có $AB = 8cm,\,\,AC = 20cm$ và có diện tích bằng $64c{m^2}$. Giá trị $\sin A$ bằng

A. $\sin A = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$                B. $\sin A = \dfrac{8}{9}$            C. $\sin A = \dfrac{4}{5}$                D. $\sin A = \dfrac{3}{8}$

Câu 25 (TH): Bảng biến thiên của hàm số $y = 2{x^2} - 4x + 5$ là bảng nào sau đây ?

PHẦN 2 : TỰ LUẬN

Câu 1 (2 điểm): Giải các phương trình, hệ phương trình sau:

$a)\,\,\left| {1 - 2x} \right| - \left| {x + 1} \right| = 7$                       $b)\,\,{x^4} + 2{x^2} - 3 = 0$                                  $c)\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x + 2y\\{y^2} = 3y + 2x\end{array} \right.$

Câu 2 (1 điểm): Xác định hàm số bậc hai $y = a{x^2} + bx + 3$ biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm $A\left( { - 1;9} \right)$ và có trục đối xứng $x =  - 2$.

Câu 3 (2 điểm): a) Cho tam giác $ABC$ có $A\left( {4;2} \right),\,\,B\left( { - 3; - 4} \right),\,\,C\left( {4; - 5} \right)$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm $A$ và song song với đường thẳng $BC$.

b) Cho tam giác $MNP$ có $MN = 6,\,\,NP = 7$ và $\widehat M = 60^\circ$. Tính góc $\widehat N$ và $\widehat P$.

ĐÁP ÁN

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Thực hiện: Ban chuyên môn Loigiaihay.com

Câu 1 (TH):

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 2 x - y =  - 1\\3x - \sqrt 2 y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - \sqrt 2 y =  - \sqrt 2 \\3x - \sqrt 2 y = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 2 \\\sqrt 2 x - y =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 2 \\y = \sqrt 2 \left( {2 + \sqrt 2 } \right) + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 2 \\y = 2\sqrt 2  + 3\end{array} \right.\end{array}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $\left( {x;y} \right) = \left( {2 + \sqrt 2 ;2\sqrt 2  + 3} \right)$

Chọn C

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

Cho véc tơ $\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)$, khi đó $\overrightarrow v  = k\overrightarrow u \,\left( {k \ne 0} \right)$ cùng hướng với $\overrightarrow u  \Leftrightarrow k > 0$ và ngược hướng với $\overrightarrow u  \Leftrightarrow k < 0.$

Cách giải:

Ta có: $\overrightarrow u  + \overrightarrow v  = \left( {2 + 1; - 2 + 8} \right) = \left( {3;6} \right) = 3\left( {1;2} \right) = 3\overrightarrow u$

Nên $\overrightarrow u  + \overrightarrow v$ và $\overrightarrow u$  cùng hướng, do đó A đúng.

Chọn A

Câu 3 (TH):

Phương pháp:

Xác định một số điểm thuộc đồ thị hàm số rồi thay tọa độ điểm vào các hàm số ở mỗi đáp án để chọn đáp án đúng.

Cách giải:

Từ hình vẽ ta thấy parabol quay bề lõm lên trên do đó $a > 0$, loại D.

Các điểm $\left( { - 2; - 1} \right);\left( { - 3;0} \right)$ thuộc đồ thị hàm số

Thay $x =  - 2;y =  - 1$ vào hàm số ở A, B, C ta thấy chỉ có hàm số $y = {x^2} + 4x + 3$ thỏa mãn nên C đúng.

Chọn C

Câu 4 (NB):

Phương pháp:

Hàm số bậc nhất có dạng $y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$

Cách giải:

Ta có $y = \dfrac{{2x - 2}}{3} = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{2}{3}$  là hàm số bậc nhất nên A đúng.

Chọn A

Câu 5 (TH):

Phương pháp:

Phương trình $ax + b = 0$ có nghiệm duy nhất khi $a \ne 0.$

Cách giải:

Ta có $\left( {{m^2} - 5} \right)x - 1 = m - x \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 4} \right)x - 1 - m = 0$

Phương trình trên có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow {m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} \ne 4 \Leftrightarrow m \ne  \pm 2$

Chọn D

Câu 6 (TH):

Phương pháp:

Để xác định góc giữa hai véc tơ ta đưa hai véc tơ đó về chung gốc.

Cách giải: 

Ta có: $\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right) = {180^0} - \left( {\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {BC} } \right) = {180^0} - \widehat B = {140^0}$

Chọn A

Câu 7 (TH):

Phương pháp:

Chu vi tam giác bằng tổng ba cạnh.

Cho $A\left( {{x_1};{y_1}} \right);\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}}$

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 4} \right)}^2}}  = 2\sqrt 2 \\AC = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 4} \right)}^2}}  = 4\\BC = \sqrt {{{\left( {5 - 3} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt 2 \end{array}$

Chu vi tam giác $ABC$ bằng $AB + BC + AC = 4 + 4\sqrt 2 .$

Chọn B

Câu 8 (TH):

Phương pháp:

Thế $y$ ở phương trình thứ nhất xuống phương trình thứ hai, rồi biện luận phương trình ẩn $y$ tìm được.

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)x - y = 2\\ - 2x + my = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \left( {m - 1} \right)x - 2\\ - 2x + m\left( {\left( {m - 1} \right)x - 2} \right) = 1\,\left( * \right)\end{array} \right.\\\left( * \right) \Leftrightarrow  - 2x + \left( {{m^2} - m} \right)x - 2m = 1\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} - m - 2} \right)x = 1 + 2m\,\left( 1 \right)\end{array}$

Để hệ phương trình vô nghiệm thì phương trình 1 vô nghiệm, nên:

$\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m - 2 = 0\\1 + 2m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m = 2\end{array} \right.\\m \ne  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m = 2\end{array} \right.$

Chọn A

Câu 9 (VD):

Phương pháp:

Tìm giao điểm của hai đường thẳng rồi thay tọa độ giao điểm đó vào phương trình đường thẳng còn lại.

Cách giải:

Xét các đường thẳng: $\left( {{d_1}} \right):y =  - 5\left( {x + 2} \right);\left( {{d_2}} \right):y = ax + 3;\left( {{d_3}} \right):y = 3x + a$

Để ba đường thẳng trên cắt nhau thì $a \ne \left\{ { - 5;3} \right\}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_3}} \right)$ ta được:

$\begin{array}{l} - 5\left( {x + 2} \right) = 3x + a \Leftrightarrow  - 5x - 10 = 3x + a\\ \Leftrightarrow 8x =  - a - 10 \Rightarrow x = \dfrac{{ - a - 10}}{8} \Rightarrow y = 3.\dfrac{{ - a - 10}}{8} + a = \dfrac{{5a - 30}}{8}\end{array}$

Thay $x = \dfrac{{ - a - 10}}{8};y = \dfrac{{5a - 30}}{8}$  vào phương trình đường thẳng $\left( {{d_2}} \right)$ ta được:

$\begin{array}{l}\dfrac{{5a - 30}}{8} = a.\dfrac{{ - a - 10}}{8} + 3\\ \Leftrightarrow 5a - 30 =  - {a^2} - 10a + 24\\ \Leftrightarrow {a^2} + 15a - 54 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 18\left( {tm} \right)\\a = 3\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $a =  - 18.$

Chọn B

Câu 10 (NB):

Phương pháp:

Dựa vào tính chất hàm số và đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$

Cách giải:

Hàm số $y = a{x^2} + bx + c\left( {a < 0} \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right)$

Nên A, B sai.

Ta chưa kết luận được gì về số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành.

Đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$ có trục đối xứng là đường thẳng $x =  - \dfrac{b}{{2a}}$ nên D đúng.

Chọn D.

Câu 11 (VD):

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 4\\xy = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{5}{x}\\{x^2} - {\left( {\dfrac{5}{x}} \right)^2} = 4\left( * \right)\end{array} \right.\\\left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} - \dfrac{{25}}{{{x^2}}} = 4\\ \Rightarrow {x^4} - 25 = 4{x^2}\\ \Leftrightarrow {x^4} - 4{x^2} - 25 = 0\end{array}$

Đặt ${x^2} = t \ge 0,$ ta có phương trình: ${t^2} - 4t - 25 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2 + \sqrt {29} \left( {tm} \right)\\t = 2 - \sqrt {29} \left( {ktm} \right)\end{array} \right.$

Suy ra ${x^2} = 2 + \sqrt {29}  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt {2 + \sqrt {29} }  \Rightarrow y = \dfrac{5}{{\sqrt {2 + \sqrt {29} } }}\\x =  - \sqrt {2 + \sqrt {29} }  \Rightarrow y =  - \dfrac{5}{{\sqrt {2 + \sqrt {29} } }}\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm.

Chọn B.

Câu 12 (TH):

Phương pháp:

Hệ thức Vi-ét:

Nếu ${x_1};{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ thì ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$

Cách giải:

Xét phương trình ${x^2} - 3x + 2 = 0$ có $\Delta  = 1 > 0$ nên có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}.$

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_1}{x_2} = 2\end{array} \right.$

Nên $x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {3^2} - 2.2 = 5$

Chọn C.

Câu 13 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng hệ thức ${\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\,$

Cách giải:

Ta có ${\sin ^2}\dfrac{\alpha }{3} + {\cos ^2}\dfrac{\alpha }{3} = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\dfrac{\alpha }{3} = 1 - {\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^2} = \dfrac{9}{{25}}$

Khi đó: $P = 3{\sin ^2}\dfrac{\alpha }{3} + 5{\cos ^2}\dfrac{\alpha }{3} = 3.{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^2} + 5.\dfrac{9}{{25}} = \dfrac{{93}}{{25}}$

Chọn A

Câu 14 (VD):

Phương pháp:

Gọi $H\left( {x;y} \right)$ là trực tâm tam giác $ABC$. Sau đó giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.$  để tìm $x;y \Rightarrow H$

Cách giải:

Ta có: $\overrightarrow {BC}  = \left( { - 5; - 2} \right);\,\overrightarrow {AC}  = \left( {3;4} \right)$

Gọi $H\left( {x;y} \right)$ là trực tâm tam giác $ABC$. Suy ra $\overrightarrow {AH}  = \left( {x + 4;y} \right);\,\overrightarrow {BH}  = \left( {x - 4;y - 6} \right)$

Khi đó: $AH \bot BC;\,BH \bot AC$ nên $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 4} \right).\left( { - 5} \right) - 2y = 0\\\left( {x - 4} \right).3 + \left( {y - 6} \right).4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x + 2y + 20 = 0\\3x + 4y - 36 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{76}}{7}\\y =  - \dfrac{{120}}{7}\end{array} \right.\end{array}$

Suy ra $H\left( {\dfrac{{76}}{7}; - \dfrac{{120}}{7}} \right)$

Chọn A.

Câu 15 (VD):

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Cách giải:

Ta có:

 $\begin{array}{l}DK:\,x \ne 0;y \ne 0\\\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{y} = 12\\\dfrac{5}{x} - \dfrac{3}{y} = 1\end{array} \right.\,\,\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{9}{x} + \dfrac{6}{y} = 36\\\dfrac{{10}}{x} - \dfrac{6}{y} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{y} = 12\\\dfrac{{19}}{x} = 38\end{array} \right.\,\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\\dfrac{2}{y} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3}} \right)$

Chọn C

Câu 16 (TH):

Phương pháp:

Rút $y$ ở phương trình thứ nhất thế vào phương trình thứ hai rồi biện luận theo phương trình ẩn $x$ thu được.

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}mx + y = m - 3\\4x + my =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = m - 3 - mx\\4x + m\left( {m - 3 - mx} \right) =  - 2\left( * \right)\end{array} \right.\\\left( * \right) \Rightarrow 4x - {m^2}x + {m^2} - 3m =  - 2\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 4} \right)x = {m^2} - 3m + 2\end{array}$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi ${m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 2.$

Chọn B

Câu 17 (TH):

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm ở đáp án vào hàm số để chọn.

Điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) \Leftrightarrow {y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$

Cách giải:

Thay tọa độ điểm $C\left( { - 2;5} \right)$ vào hàm số ta được: $5 = \left| {2.{{\left( { - 2} \right)}^2} - 3} \right| \Leftrightarrow 5 = 5\left( {ld} \right)$  nên điểm $C\left( { - 2;5} \right)$ thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Chọn C

Câu 18 (TH):

Phương pháp:

Đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)$có trục đối xứng $x =  - \dfrac{b}{{2a}}$, có đỉnh là điểm $I\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)$

Cách giải:

Đồ thị hàm số $y = 2{x^2} - 4x + 3$ có trục đối xứng $x = 1,$ có đỉnh là $I\left( {1;1} \right)$ nên A đúng, B sai.

Phương trình $2{x^2} - 4x + 3 = 0$ vô nghiệm do có $\Delta  =  - 4 < 0$ nên đồ thị hàm số $y = 2{x^2} - 4x + 3$ không có giao điểm với trục hoành. Do đó, C đúng.

Thay $x =  - 1$ vào hàm số ta được $y = 2.{\left( { - 1} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right) + 3 = 9$ nên điểm $M\left( { - 1;9} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = 2{x^2} - 4x + 3.$ Do đó, D đúng.

Chọn B.

Câu 19 (VD):

Phương pháp:

Đường thẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ và có VTPT $\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)$ có phương trình tổng quát là:

$a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0$

Cách giải:

$\overrightarrow {BC}  = \left( { - 3; - 2} \right)$ là 1 VTCP của đường thẳng $d$

Suy ra 1 VTPT của đường thẳng $d$ là: $\overrightarrow n \left( {2; - 3} \right)$

Phương trình tổng quát của đường thẳng $d:2\left( {x - 2} \right) - 3y = 0 \Leftrightarrow 2x - 3y - 4 = 0$

Chọn A

Câu 20 (TH):

Phương pháp:

Hàm số $y = a{x^2} + bx + c\,\left( {a < 0} \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right)$

Hàm số $y = a{x^2} + bx + c\,\left( {a > 0} \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right)$

Cách giải:

Từ yêu cầu đề bài ta suy ra hàm số cần tìm có hệ số $a < 0$ nên loại A và B.

Hàm số $y =  - \sqrt 2 {\left( {x + 1} \right)^2} =  - \sqrt 2 {x^2} - 2\sqrt 2 x - \sqrt 2$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ nên C sai.

Hàm số $y =  - \sqrt 2 {x^2} + 1$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ nên D đúng.

Chọn D.

Câu 21 (TH):

Phương pháp:

Phương trình đường thẳng $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.$  có 1 VTCP là $\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)$ và có 1 VTPT là $\overrightarrow n  = \left( {b; - a} \right)$

Cách giải:

1 VTCP của đường thẳng là $\overrightarrow u  = \left( {2;1} \right)$ suy ra 1 VTPT là $\overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right)$.

Chọn B.

Câu 22 (VD):

Phương pháp:

Đặt ${x^2} = t \ge 0$ rồi đưa về phương trình bậc hai. Từ đó tìm được số nghiệm của phương trình đã cho.

Cách giải:

Đặt ${x^2} = t \ge 0$ ta được phương trình:

$\left( {1 - \sqrt 2 } \right){t^2} - \left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right)t + \sqrt 3  = 0$

Phương trình trên có $ac = \left( {1 - \sqrt 2 } \right).\sqrt 3  < 0$ nên có hai nghiệm trái dấu ${t_1} < 0\left( L \right);{t_2} > 0\left( N \right)$

Thay lại cách đặt ta được ${x^2} = {t_2} \Rightarrow x =  \pm \sqrt {{t_2}}$  hay phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Chọn A

Câu 23 (VD):

Phương pháp:

$ABDC$ là hình bình hành khi $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD}$

Hai véc tơ bằng nhau khi hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

Cách giải:

Gọi $D\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CD}  = \left( {x - 4;y - 3} \right)$; $\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2} \right)$

Để $ABDC$ là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 1\\y - 3 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 1\end{array} \right.$  nên $D\left( {5;1} \right)$

Chọn D

Câu 24 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức diện tích ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC\sin A$

Cách giải:

Ta có: ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC\sin A$ nên $\sin A = \dfrac{{2{S_{ABC}}}}{{AB.AC}} = \dfrac{{2.64}}{{8.20}} = \dfrac{4}{5}.$

Chọn C.

Câu 25 (TH):

Phương pháp:

Hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ với $a > 0$ nghịch biến trên $\left( { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right)$ và đồng biến trên $\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right)$

Cách giải:

Trục đối xứng $x =  - \dfrac{b}{{2a}} = 1$

Đỉnh parabol $I\left( {1;3} \right)$

Vì $a = 2 > 0$ nên hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ;1} \right)$ và đồng biến trên $\left( {1; + \infty } \right)$

Ta có BBT:

Chọn B.

PHẦN II: TỰ LUẬN

Câu 1:

Phương pháp:

a) Phá dấu giá trị tuyệt đối và giải phương trình thu được.

b) Đặt $t = {x^2}$ và giải phương trình.

c) Trừ vế với vế các phương trình đưa về dạng tích.

Cách giải:

a) $\left| {1 - 2x} \right| - \left| {x + 1} \right| = 7$ $\Leftrightarrow \left| {2x - 1} \right| - \left| {x + 1} \right| = 7$

+) Nếu $x \ge \dfrac{1}{2}$ thì:

$\begin{array}{l}\left| {2x - 1} \right| - \left| {x + 1} \right| = 7\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right) - \left( {x + 1} \right) = 7\\ \Leftrightarrow 2x - 1 - x - 1 = 7\\ \Leftrightarrow x - 2 = 7\\ \Leftrightarrow x = 9\left( {TM} \right)\end{array}$

+) Nếu $- 1 < x < \dfrac{1}{2}$ thì:

$\begin{array}{l}\left| {2x - 1} \right| - \left| {x + 1} \right| = 7\\ \Leftrightarrow \left( { - 2x + 1} \right) - \left( {x + 1} \right) = 7\\ \Leftrightarrow  - 2x + 1 - x - 1 = 7\\ \Leftrightarrow  - 3x = 7 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{7}{3}\left( {KTM} \right)\end{array}$

+) Nếu $x \le  - 1$ thì:

$\begin{array}{l}\left| {2x - 1} \right| - \left| {x + 1} \right| = 7\\ \Leftrightarrow \left( { - 2x + 1} \right) - \left( { - x - 1} \right) = 7\\ \Leftrightarrow  - 2x + 1 + x + 1 = 7\\ \Leftrightarrow  - x + 2 = 7 \Leftrightarrow x =  - 5\left( {TM} \right)\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ {9; - 5} \right\}$

b) ${x^4} + 2{x^2} - 3 = 0$

Đặt $t = {x^2} \ge 0$ ta được:

${t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t + 3} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = 0\\t + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\left( {TM} \right)\\t =  - 3\left( {KTM} \right)\end{array} \right.$

Suy ra ${x^2} = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 1$.

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ { \pm 1} \right\}$.

c) $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x + 2y\,\,\left( 1 \right)\\{y^2} = 3y + 2x\end{array} \right.$

Trừ hai phương trình vế với vế ta được:

${x^2} - {y^2} = x - y$ $\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - \left( {x - y} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y = 0\\x + y - 1 = 0\end{array} \right.$ 

+) Nếu $x - y = 0 \Leftrightarrow y = x$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta được:

${x^2} = 3x + 2x \Leftrightarrow {x^2} - 5x = 0$ $\Leftrightarrow x\left( {x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 0\\x = 5 \Rightarrow y = 5\end{array} \right.$

+) Nếu $x + y - 1 = 0 \Leftrightarrow y = 1 - x$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta được:

${x^2} = 3x + 2\left( {1 - x} \right)$ $\Leftrightarrow {x^2} = x + 2$ $\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 \Rightarrow y = 2\\x = 2 \Rightarrow y =  - 1\end{array} \right.$

Vậy hệ có nghiệm $\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {0;0} \right),\left( {5;5} \right),\left( { - 1;2} \right),\left( {2; - 1} \right)} \right\}$.

Câu 2:

Phương pháp:

Sử dụng lý thuyết hàm số bậc hai:

- Trục đối xứng $x =  - \dfrac{b}{{2a}}$.

- Điểm $M \in \left( P \right)$ thì tọa độ của $M$ thỏa mãn công thức hàm số của $\left( P \right)$.

Cách giải:

- Trục đối xứng $x =  - 2$ nên $- \dfrac{b}{{2a}} =  - 2 \Leftrightarrow b = 4a$ (1)

- Đồ thị đi qua $A\left( { - 1;9} \right)$ nên $9 = a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + 3$ $\Leftrightarrow a - b = 6$ (2)

Thay (1) vào (2) ta có: $a - 4a = 6 \Leftrightarrow  - 3a = 6 \Leftrightarrow a =  - 2$.

Suy ra $b = 4.\left( { - 2} \right) =  - 8$.

Vậy hàm số $y =  - 2{x^2} - 8x + 3$.

Câu 3:

Phương pháp:

a) Phương trình đường thẳng đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ và nhận $\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)$ làm VTPT là $a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0$.

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác.

Cách giải:

a) Ta có: $\overrightarrow {BC}  = \left( {7; - 1} \right)$.

Đường thẳng qua $A\left( {4;2} \right)$ và song song $BC$ nên nhận $\overrightarrow n  = \left( {1;7} \right)$ làm VTPT.

Vậy $1\left( {x - 4} \right) + 7\left( {y - 2} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x + 7y - 18 = 0$.

b) Áp dụng định lí sin trong tam giác $MNP$ ta có:

$\dfrac{{NP}}{{\sin \widehat M}} = \dfrac{{MN}}{{\sin \widehat P}}$ $\Rightarrow \dfrac{7}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{6}{{\sin \widehat P}}$ $\Leftrightarrow \sin \widehat P = \dfrac{{6.\sin {{60}^0}}}{7} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{7}$ $\Rightarrow \widehat P \approx {48^0}$.

Lại có $\widehat M + \widehat N + \widehat P = {180^0}$ nên $\widehat N = {180^0} - \widehat M - \widehat P$ $\approx {180^0} - {60^0} - {48^0} = {72^0}$.

Vậy $\widehat P \approx {48^0},\widehat N \approx {72^0}$.

Loigiaihay.com