Giải đề thi học kì 1 toán lớp 10 năm 2019 - 2020 trường THPT Gò Vấp

Câu 1:  (1,0 điểm) Tìm tập xác định của các hàm số :

a)  $y = \dfrac{{\sqrt {3 - x}  + \sqrt {3 + x} }}{{\left| x \right| - 2}}$                     

b) $y = \dfrac{{\left| {2x + 1} \right| - \sqrt 2 }}{{2{x^2} - 3x + 1}}$                 

Câu 2: (2,0 điểm) Cho hàm số bậc hai $y = a{x^2} + bx + 3\left( {a \ne 0} \right)$ có đồ thị $\left( P \right),$ biết rằng đồ thị $\left( P \right)$ có đỉnh $S\left( { - 2; - 1} \right).$ Tính $2a - b?$

Câu 3: (1,0 điểm) Cho phương trình ${m^2}x + 1 = x + 3{m^2} - 2m.$ Xác định $m$ để phương trình đã cho nghiệm đúng $\forall x \in \mathbb{R}.$

Câu 4: (2,0 điểm)

a) Cho phương trình $m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 4 + m = 0.$ Xác định $m$ để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.

b) Cho phương trình $\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx + m - 4 = 0.$ Xác định $m$ để phương trình có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa $x_1^2 + x_2^2 = 20.$

Câu 5: (1,0 điểm) Giải các phương trình :

a) $\left| {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{2}} \right| = x - 1$                                 

b) $6 - \sqrt {3{x^2} - x + 6}  = x$

Câu 6: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}3\sqrt {x - 1}  - 2\sqrt {1 - 2y}  =  - 1\\\sqrt {1 - 2y}  + 2\sqrt {x - 1}  = 4\end{array} \right.$ 

Câu 7: (1,0 điểm) Cho $\overrightarrow a  = \left( {2;1} \right),\overrightarrow b  = \left( {3;4} \right),\overrightarrow c  = \left( { - 7;2} \right).$ Tìm vectơ $\overrightarrow p$ sao cho : $4\overrightarrow p  - 2\overrightarrow a  = \overrightarrow b  - 3\overrightarrow c$

Câu 8: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ $Oxy,$ cho hai điểm $A\left( {3; - 1} \right),\,B\left( {1;1} \right)$. Tìm tọa độ diểm $E$ biết điểm $E$ thuộc trục tung và ba điểm $A,B,E$ thẳng hàng.

Câu 9 : (1,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ có $AB = 5;AC = 6;BC = 7.$ Tính : $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Thực hiện: Ban chuyên môn Loigiaihay.com

Câu 1 (VD): Tìm tập xác định của các hàm số :

a)  $y = \dfrac{{\sqrt {3 - x}  + \sqrt {3 + x} }}{{\left| x \right| - 2}}$                     

b) $y = \dfrac{{\left| {2x + 1} \right| - \sqrt 2 }}{{2{x^2} - 3x + 1}}$ 

Phương pháp:

Biểu thức $\sqrt {f\left( x \right)}$ xác định nếu $f\left( x \right) \ge 0$.

Biểu thức $\dfrac{1}{{f\left( x \right)}}$ xác định nếu $f\left( x \right) \ne 0$.

Cách giải:

a) $y = \dfrac{{\sqrt {3 - x}  + \sqrt {3 + x} }}{{\left| x \right| - 2}}$

ĐK:$\left\{ \begin{array}{l}3 - x \ge 0\\3 + x \ge 0\\\left| x \right| - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\x \ge  - 3\\x \ne  \pm 2\end{array} \right.$

TXĐ: $D = \left[ { - 3;3} \right]\backslash \left\{ { - 2;2} \right\}$

b) $y = \dfrac{{\left| {2x + 1} \right| - \sqrt 2 }}{{2{x^2} - 3x + 1}}$

ĐK: $2{x^2} - 3x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

TXĐ : $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{1}{2};1} \right\}$  

Câu 2 (VD): Cho hàm số bậc hai $y = a{x^2} + bx + 3\left( {a \ne 0} \right)$ có đồ thị $\left( P \right),$ biết rằng đồ thị $\left( P \right)$ có đỉnh $S\left( { - 2; - 1} \right).$ Tính $2a - b?$

Phương pháp:

Đỉnh parabol $\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)$, lập hệ phương trình ẩn $a,b$.

Cách giải:

Ta có: $- 2 = \dfrac{{ - b}}{{2a}} \Leftrightarrow  - 4a + b = 0$ (1)

Điểm $S\left( { - 2; - 1} \right) \in P$ $\Rightarrow 4a - 2b + 3 = -1 \Rightarrow 2a - b =  - 2$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\left\{ \begin{array}{l} - 4a + b = 0\\2a - b =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 4\end{array} \right.$

Vậy $2a - b = 2 - 4 =  - 2$.

Câu 3 (VD ): Cho phương trình ${m^2}x + 1 = x + 3{m^2} - 2m.$ Xác định $m$ để phương trình đã cho nghiệm đúng $\forall x \in \mathbb{R}.$

Phương pháp:

Phương trình $ax + b = 0$ nghiệm đúng với mọi $x$ $\Leftrightarrow a = b = 0$.

Cách giải:

${m^2}x + 1 = x + 3{m^2} - 2m$ $\Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right)x = 3{m^2} - 2m - 1$

Phương trình đã cho nghiệm đúng $\forall x \in \mathbb{R}$

 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 = 0\\3{m^2} - 2m - 1 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \dfrac{{ - 1}}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1$.

Vậy $m = 1$.

Câu 4 (VD ):

a) Cho phương trình $m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 4 + m = 0.$ Xác định $m$ để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.

b) Cho phương trình $\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx + m - 4 = 0.$ Xác định $m$ để phương trình có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa $x_1^2 + x_2^2 = 20.$

Phương pháp:

a) Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có nghiệm kép $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  = 0\end{array} \right.$.

b) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm.

Sử dụng Vi – et thay vào đẳng thức bài cho, giải phương trình ẩn $m$ và kết luận.

Cách giải:

a) Cho phương trình $m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 4 + m = 0.$ Xác định $m$ để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.

Phương trình có nghiệm kép $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\6m + 1 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m =  - \dfrac{1}{6}\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.$

b) Cho phương trình $\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx + m - 4 = 0.$ Xác định $m$ để phương trình có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa $x_1^2 + x_2^2 = 20.$

Để phương trình có $2$ nghiệm ${x_1};{x_2}$ thì $\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\\Delta  = 20m - 16 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ge \dfrac{4}{5}\end{array} \right.$

Theo định lý Vi-et ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2m}}{{m - 1}}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{{m - 4}}{{m - 1}}\end{array} \right.$

Ta có : $x_1^2 + x_2^2 = 20$ $\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 20$

$\Leftrightarrow \dfrac{{2{m^2} + 10m - 8}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} = 20$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\left( N \right)\\m = \dfrac{7}{9}\left( L \right)\end{array} \right.$

Câu 5 (VD ): Giải các phương trình :

a) $\left| {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{2}} \right| = x - 1$                                 

b) $6 - \sqrt {3{x^2} - x + 6}  = x$

Phương pháp:

a) $\left| {f\left( x \right)} \right| = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) =  \pm g\left( x \right)\end{array} \right.$

b) $\sqrt {f\left( x \right)}  = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.$

Cách giải:

a) $\left| {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{2}} \right| = x - 1$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{2} = x - 1\\\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{2} =  - x + 1\end{array} \right.\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 4 = 0\\{x^2} - x = 0\end{array} \right.\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ {1;4} \right\}$.

b) $6 - \sqrt {3{x^2} - x + 6}  = x$ $\Leftrightarrow \sqrt {3{x^2} - x + 6}  = 6 - x$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 - x \ge 0\\3{x^2} - x + 6 = {\left( {6 - x} \right)^2}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 6\\3{x^2} - x + 6 = {x^2} - 12x + 36\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 6\\2{x^2} + 11x - 30 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 6\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\,\left( {TM} \right)\\x =  - \dfrac{{15}}{2}\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \left\{ {2; - \dfrac{{15}}{2}} \right\}$.

Câu 6 (VD): Giải hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}3\sqrt {x - 1}  - 2\sqrt {1 - 2y}  =  - 1\\\sqrt {1 - 2y}  + 2\sqrt {x - 1}  = 4\end{array} \right.$ 

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ: $\left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt {x - 1} \\v = \sqrt {1 - 2y} \end{array} \right.\left( {u,v \ge 0} \right)$

Cách giải:

Điều kiện: $x \ge 1;y \le \dfrac{1}{2}$

Đặt : $\left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt {x - 1} \\v = \sqrt {1 - 2y} \end{array} \right.\left( {u,v \ge 0} \right)$

Hệ phương trình trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}3u - 2v =  - 1\\2u + v = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 2\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1}  = 1\\\sqrt {1 - 2y}  = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \dfrac{{ - 3}}{2}\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {2; - \dfrac{3}{2}} \right)$.

Câu 7 (TH): Cho $\overrightarrow a  = \left( {2;1} \right),\overrightarrow b  = \left( {3;4} \right),\overrightarrow c  = \left( { - 7;2} \right).$ Tìm vectơ $\overrightarrow p$ sao cho : $4\overrightarrow p  - 2\overrightarrow a  = \overrightarrow b  - 3\overrightarrow c$

Phương pháp:

Sử dụng công thức $k\overrightarrow a  \pm l\overrightarrow b  = \left( {k{x_1} \pm l{x_2};k{y_1} \pm l{y_2}} \right)$.

Cách giải:

$4\overrightarrow p  - 2\overrightarrow a  = \overrightarrow b  - 3\overrightarrow c$

$\Leftrightarrow \overrightarrow p  = \dfrac{1}{4}\left( {2\overrightarrow a  + \overrightarrow b  - 3\overrightarrow c } \right)$ $= \dfrac{1}{4}\left( {2.2 + 3 - 3.\left( { - 7} \right);2.1 + 4 - 3.2} \right)$ $= \dfrac{1}{4}\left( {28;0} \right) = \left( {7;0} \right)$

Vậy $\overrightarrow p  = \left( {7;0} \right)$.

Câu 8 (VD ): Trong mặt phẳng hệ tọa độ $Oxy,$ cho hai điểm $A\left( {3; - 1} \right),\,B\left( {1;1} \right)$. Tìm tọa độ diểm $E$ biết điểm $E$ thuộc trục tung và ba điểm $A,B,E$ thẳng hàng.

Phương pháp:

Gọi $E\left( {0;y} \right) \in Oy$.

$A,B,E$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow {AB}$ cùng phương $\overrightarrow {AE} .$

Cách giải:

Ta có: $E \in Oy \Rightarrow E\left( {0;y} \right)$ 

$\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;2} \right)$ ; $\overrightarrow {AE}  = \left( { - 3;y + 1} \right)$

Ba điểm $A,B,E$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow {AB}$ cùng phương $\overrightarrow {AE} .$

$\Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{{ - 2}} = \dfrac{{y + 1}}{2}$ $\Leftrightarrow  - 2\left( {y + 1} \right) + 6 = 0 \Leftrightarrow y = 2$

Vậy $E\left( {0;2} \right).$

Câu 9 (VD ): Cho tam giác $ABC$ có $AB = 5;AC = 6;BC = 7.$ Tính : $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$.

Phương pháp:

Nhận xét $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB}$ và bình phương hai vế.

Cách giải:

Ta có $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB}$

$\Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {CB} } \right)^2}$

$\Leftrightarrow A{B^2} - 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  + A{C^2} = C{B^2}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2} - C{B^2}}}{2}$ $= \dfrac{{{5^2} + {6^2} - {7^2}}}{2} = 6$

Vậy $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 6$.

Loigiaihay.com