Giải câu hỏi mở đầu trang 20 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Trong kiến trúc, các vòm cổng bằng đá thường có hình nửa đường tròn để có thể chịu lực tốt. Trong hình bên, vòm cổng được ghép bởi sáu phiến đá hai bên tạo thành các cung AB, BC, CD, EF, FG, GH bằng nhau và một phiến đá chốt ở đỉnh. Nếu biết chiều rộng cổng và khoảng cách từ điểm B đến đường kính AH, làm thế nào để tính được khoảng cách từ điểm C đến AH?

Lời giải chi tiết

Đặt chiều rộng cổng AH = d \( \Rightarrow OA = OB = \frac{1}{2}d\).

Xét tam giác OBB' vuông tại B', có: \(\sin \widehat {BOB'} = \frac{{BB'}}{{OB}} = \frac{{27}}{{\frac{d}{2}}} = \frac{{54}}{d}\).

Vì \(\overset\frown{AB} = \overset\frown{BC} \) nên sđ\(\overset\frown{AC}\) = 2.sđ\(\overset\frown{AB} \Rightarrow \widehat {AOC} = 2\widehat {BOB'}\).

Xét tam giác OCC' vuông tại C', có:

\(\sin \widehat {COC'} = \frac{{CC'}}{{OC}} \Leftrightarrow CC' = OC.\sin \widehat {COC'} = OC.\sin \left( {2\widehat {BOB'}} \right)\).

Sau bài học này ta sẽ giải quyết tiếp được bài toán như sau:

Áp dụng công thức nhân đôi \(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha \) đối với góc \(\widehat {BOB'}\):

\(\sin \left( {2\widehat {BOB'}} \right) = 2\sin \widehat {BOB'}.\cos \widehat {BOB'} = 2.\frac{{54}}{d} \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{54}}{d}} \right)}^2}}  = \frac{{108}}{d}\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{54}}{d}} \right)}^2}} \).

Vậy khoảng cách từ điểm C đến AH là \(CC' = \frac{{108}}{d}\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{54}}{d}} \right)}^2}} \).