Giải bài 9.21 trang 55 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC của tam giác ABC sao cho \(AM.AB = AN.AC\).

a) Chứng minh rằng $\Delta AMN\backsim \Delta ACB$

b) Lấy E, F lần lượt là trung điểm của MN, BC. Chứng minh rằng \(\widehat {EAB} = \widehat {FAC}\)

Lời giải chi tiết

a) Vì \(AM.AB = AN.AC\) nên \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\)

Tam giác AMN và tam giác ABC có:

\(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\), góc A chung

Do đó, $\Delta AMN\backsim \Delta ACB$ (c – g – c)

b) Vì $\Delta AMN\backsim \Delta ACB$(cmt) nên \(\widehat {AMN} = \widehat C\)

và \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{CB}}\)

Mà E, F lần lượt là trung điểm của MN, BC nên \(MN = 2ME,BC = 2FC\)

Do đó: \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{CB}} = \frac{{2ME}}{{2FC}} = \frac{{ME}}{{FC}}\)

Tam giác MAE và tam giác CAF có:

\(\widehat {AME} = \widehat C\) (cmt), \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{ME}}{{FC}}\) (cmt)

Do đó, $\Delta AME\backsim \Delta ACF\left( c-g-c \right)$ nên \(\widehat {EAB} = \widehat {FAC}\) (hai góc tương ứng)