Giải bài 8 trang 46 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = 2\) và \({u_n} = \sqrt {2 + u_{n - 1}^2} \) với mọi \(n \ge 2\). Viết năm số hạng đầu của dãy số và dự đoán công thức của số hạng tổng quát \({u_n}\).

Lời giải chi tiết

Ta có:

\({u_1} = 2 = \sqrt 4  = \sqrt {2\left( {1 + 1} \right)} \)

\({u_2} = \sqrt {2 + u_1^2}  = \sqrt {2 + {2^2}}  = \sqrt 6  = \sqrt {2\left( {2 + 1} \right)} \)

\({u_3} = \sqrt {2 + u_2^2}  = \sqrt {2 + 6}  = \sqrt 8  = \sqrt {2\left( {3 + 1} \right)} \)

\({u_4} = \sqrt {2 + u_3^2}  = \sqrt {2 + 8}  = \sqrt {10}  = \sqrt {2\left( {4 + 1} \right)} \)

\({u_5} = \sqrt {2 + u_4^2}  = \sqrt {2 + 10}  = \sqrt {12}  = \sqrt {2\left( {5 + 1} \right)} \)

Như vậy 5 số hạng đầu của dãy số là: \(2\), \(\sqrt 6 \), \(2\sqrt 2 \), \(\sqrt {10} \), \(2\sqrt 3 \).

Từ 5 số hạng đầu, ta có thể dự đoán công thức của số hạng tổng quát \({u_n}\) là:

\({u_n} = \sqrt {2\left( {n + 1} \right)} \)