Giải bài 7.59 trang 50 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho elip \(\left( E \right)\) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Tìm tọa độ các điểm M thuộc \(\left( E \right)\) biết rằng M nhìn hai tiêu điểm của \(\left( E \right)\) dưới một góc vuông

Lời giải chi tiết

+ Phương trình Elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\) với \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt {25 - 9}  = 4\)

\(\Rightarrow \) Hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 2;0} \right),{F_2}\left( {2;0} \right)\)

+ Do M nhìn hai tiêu điểm dưới 1 góc vuông nên M nằm trên đường tròn \(\left( C \right)\) đường kính \({F_1}{F_2}\)

+ Phương trình đường tròng \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = 16\) nên M là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 16\\\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { \pm \frac{{5\sqrt 7 }}{4}; \pm \frac{9}{4}} \right)\)