Giải bài 7.56 trang 50 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( { - 1;0} \right)\) và \(B\left( {3;1} \right)\).

a) Viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B.

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.

c) Viết phương trình đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB.

Lời giải chi tiết

a) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{4^2} + {1^2}}  = \sqrt {17} \).

Phương trình đường tròn tâm A, bán kính \(R = \sqrt {17} \) là:

\({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 17\).

b) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {1; - 4} \right)\)

Phương trình đường thẳng AB đi qua \(A\left( { - 1;0} \right)\) và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {1; - 4} \right)\) là:

\(1\left( {x + 1} \right) - 4\left( {y - 0} \right) = 0 \Rightarrow x - 4y + 1 = 0\).

c) Đường tròn O tiếp xúc với AB

\( \Rightarrow d\left( {O,AB} \right) = R \Rightarrow \frac{{\left| {0 - 4.0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {4^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {17} }}\).

Phương trình đường tròn tâm \(O\left( {0;0} \right)\) có \(R = \frac{1}{{\sqrt {17} }}\) là:

\({x^2} + {y^2} = \frac{1}{{17}}\).