Giải Bài 73 trang 90 sách bài tập toán 7 - Cánh diều

Cho tam giác ABC đều và có G là trọng tâm.

Quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác ABC đều và có G là trọng tâm.

a) Chứng minh GA = GB = GC.

b) Trên tia AG lấy điểm D sao cho GD = GA. Chứng minh tam giác BGD là tam giác đều.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chứng minh: \(\Delta ABM = \Delta CBN\) suy ra AM = CN

- Sử dụng tính chất của ba đường trung tuyến để chứng minh: GA = Gb = GC.

- Chứng minh: GD = GB = DB suy ra tam giác BBGD là tam giác đều.

Lời giải chi tiết

 

a) • Do tam giác ABC đều nên AB = BC = AC.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AB.

Khi đó \(AN = NB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}BC = BM = MC\)

Xét ∆ABM và ∆CBN có:

AB = BC (giả thiết),

\(\widehat {ABC}\) là góc chung,

BM = BN (chứng minh trên)

Do đó ∆ABM = ∆CBN (c.c.c).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng).

• Vì G là trọng tâm tam giác ABC

Nên \(AG = \frac{2}{3}AM\) và \(CG = \frac{2}{3}CN\) (tính chất trọng tâm của tam giác).

Mà AM = CN.

Suy ra GA = GC.

Chứng minh tương tự ta có GA = GB.

Do đó GA = GB = GC.

Vậy GA = GB = GC.

b) Ta có GA = GB (theo câu a) và GA = GD (giả thiết).

Nên GD = GB (1)

Ta có G là trọng tam giác ABC nên \(GM = \frac{1}{2}GA\)

Mà GA = GD nên \(GM = \frac{1}{2}G{\rm{D}}\).

Do đó\(GM = M{\rm{D}} = \frac{1}{2}G{\rm{D}}\).

Xét ∆GMC và ∆DMB có:

MB = MC (chứng minh câu a),

\(\widehat {GMC} = \widehat {DMB}\) (hai góc đối đỉnh),

MG = MD (chứng minh trên).

Do đó ∆GMC = ∆DMB (c.g.c)

Suy ra GC = DB (hai cạnh tương ứng).

Lại có GC = GB (theo câu a)

Nên GB = DB (2)

Từ (1) và (2) suy ra GD = GB = DB.

Do đó tam giác BGD là tam giác đều.

Vậy tam giác BGD là tam giác đều

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close