Giải bài 7.27 trang 37 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\)  có cạnh bằng \(a\). Tính theo \(a\) khoảng cách

a) Giữa hai đường thẳng  \(AB\) và \(C'D'\).

b) Giữa đường thẳng \(AC\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\).

c) Từ điểm \(A\) đường thẳng \(B'D'\).

d) Giữa hai đường thẳng  \(AC\) và \(B'D'\).

Lời giải chi tiết

a) Vì \(BC'\) vuông góc với cả hai đường thẳng \(AB\)và \(C'D'\) nên \(d\left( {AB,C'D'} \right) = BC' = a\sqrt 2 \).

b) Vì \(AC\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\) nên \(d\left( {AC,\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = AA' = a\).

c) Gọi \(O'\) là giao điểm của \(A'C'\) và \(B'D'\) ta có \(AO' \bot B'D'\), theo định lý Pythagore áp dụng cho tam giác \(AA'O'\) vuông tại \(A'\) thì \(AO' = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\). Do đó, \(d\left( {A,B'D'} \right) = AO' = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

d) Ta có \(d\left( {AC,B'D'} \right) = d\left( {AC,\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = AA' = a\).