Giải bài 7.26 trang 42 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho đường thẳng \(\Delta :x\sin {\alpha ^ \circ } + ycos{\alpha ^ \circ } - 1 = 0\), trong đó \(\alpha \) là một số thực thuộc khoảng \(\left( {0;180} \right)\).

a) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng \(\Delta \).

b) Chứng minh rằng khi \(\alpha \) thay đổi, tồn tại một đường tròn cố định luôn tiếp xúc với đường thẳng d.

Lời giải chi tiết

a) \(d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sin {\alpha ^ \circ }} \right)}^2} + {{\left( {cos{\alpha ^ \circ }} \right)}^2}} }} = 1\).

b) Gọi \(\left( C \right)\) là đường tròn tâm O(0;0) bán kính \(R = 1\), đường tròn này cố định.

Ta chứng minh đường tròn này tiếp xúc với đường thẳng d với mọi \(\alpha\).

Vì \(d\left( {O,\Delta } \right) = 1 = R\), \(\forall \alpha\) nên \(\left( C \right)\) luôn tiếp xúc với \(\Delta \).

Vậy phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) là \({x^2} + {y^2} = 1\).