SBT Toán 11 - giải SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Giải bài 6.15 trang 10 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Tìm \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{49}}32\), biết \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}14 = a\).

Quảng cáo

Đề bài

Tìm \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{49}}32\), biết \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}14 = a\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phân tích \(48\) theo thừa số nguyên tố rồi áp dụng quy tắc tính logarit, đổi cơ số của lôgarit \({\log _a}M = \frac{{{{\log }_b}M}}{{{{\log }_b}a}}\),\({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\)

Giả sử a là số thực dương khác \(1,\,M\) và \(N\) là các số thực dương, \(\alpha \) là số thực tuỳ ý.

\(\begin{array}{l}{\log _a}(MN) = {\log _a}M + {\log _a}N;\\{\log _a}\left( {\frac{M}{N}} \right) = {\log _a}M - {\log _a}N;\\{\log _a}{M^a} = \alpha {\log _a}M.\end{array}\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{49}}32 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{49}}{2^5} = 5{\rm{lo}}{{\rm{g}}_{49}}2 = \frac{5}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}49}} = \frac{5}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{7^2}}} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}7}}\)

Do \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}14 = a\) nên \(a = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {7 \cdot 2} \right) = 1 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}7 \Rightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}7 = a - 1\).

Suy ra \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{49}}32 = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{{a - 1}}\)