Giải bài 6 trang 81 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho phân thức đại số \(P = \frac{{{x^3} + 8}}{{{x^2} - 4}}\).

a) Tìm điều kiện xác định của phân thức.

b) Rút gọn phân thức đã cho.

c) Sử dụng kết quả câu b), tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của phân thức P đã cho là số nguyên.

Lời giải chi tiết

a) Phân thức P xác định khi \({x^2} - 4 \ne 0\), tức là \({x^2} \ne 4\) nên \(x \ne  \pm 2\)

b) \(P = \frac{{{x^3} + 8}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{x - 2}}\)

c) Ta có: \(P = \frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{x + 2}} = \frac{{x\left( {x - 2} \right) + 4}}{{x - 2}} = x + \frac{4}{{x - 2}}\)

Vì x nguyên, để P có giá trị nguyên thì \(\frac{4}{{x - 2}}\) có giá trị là số nguyên. Khi đó, \(x - 2\) là ước nguyên của 4. Do đó, \(x - 2 \in \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 4} \right\}\)

Ta có bảng:

\(x - 2\)	1	-1	2	-2	4	-4
x	3 (tm)	1 (tm)	4 (tm)	0 (tm)	6 (tm)	-2 (ktm)

Vậy \(x \in \left\{ {0;1;3;4;6} \right\}\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.