Giải bài 5 trang 67 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Đề bài

Vệ tinh nhân tạo lần đầu tiên được Liên Xô (cũ) phóng từ Trái Đất năm 1957. Quỹ đạo của vệ tinh đó là một đường elip nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Người ta đo được vệ tinh cách bề mặt Trái Đất gần nhất là 583 dặm và xa nhất là 1.342 dặm (1 dặm xấp xỉ 1.609 km). Tìm tâm sai của quỹ đạo đó, biết bán kinh của Trái Đất xấp xỉ 4.000 dặm

Lời giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ sao cho tâm Trái Đất trùng với tiêu điểm \({F_1}\) của elip

Khi đó elip có phương trình là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\)

Theo đề bài, ta có: vệ tinh cách bề mặt Trái Đất gần nhất là 583 dặm và xa nhất là 1342 dặm, mà bán kính của Trái Đất xấp xỉ 4000 dặm nên vệ tinh cách tâm Trái Đất gần nhất là 583 + 4000 = 4583 dặm và xa nhất là 1342 + 4000 = 5342 dặm.

Giả sử vệ tinh có toạ độ là \(M\left( {x;y} \right)\).

Khi đó khoảng cách từ vệ tinh đến tâm Trái Đất là: \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x\)

Vì \( - a \le x \le a\) nên \(a - c \le M{F_1} \le a + c\)

Vậy khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất từ vệ tinh đến tâm Trái Đất lần lượt là a – c và a + c.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - c = 4.583\\a + c = 5.342\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4.962,5\\c = 379,5\end{array} \right. \Rightarrow e = \frac{c}{a} = \frac{{379,5}}{{4.962,5}} \approx 0,076\)

Vậy tâm sai của quỹ đạo này xấp xỉ 0,076.