Giải bài 5 trang 41 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Đề bài

Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối xứng?

A. Không có.

B. Một.

C. Hai.

D. Vô số.

Lời giải chi tiết

Đáp án đúng là: B

 

Giả sử (H) là hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính (O; R) và (O’; R).

Gọi I là trung điểm của đoạn OO’.

Suy ra \(O'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_I}\left( O \right).\)

Gọi A là điểm bất kì trên \(\left( {O;{\rm{ }}R} \right).\)

Lấy điểm A’ sao cho I là trung điểm của AA’. Khi đó \(A'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_I}\left( A \right).\)

Dễ dàng chứng minh được \(\Delta OAI{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta O'A'I{\rm{ }}\left( {c.g.c} \right)\)

Suy ra \(OA{\rm{ }} = {\rm{ }}O'A'\)  (hai cạnh tương ứng)

Mà \(OA{\rm{ }} = {\rm{ }}R\)  nên O’A’ = R hay A’ nằm trên \(\left( {O';{\rm{ }}R} \right).\)

Khi đó ta luôn xác định được một điểm A’ trên hình (H) sao cho \(A'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_I}\left( A \right).\)

Tương tự như vậy, ta chọn các điểm khác bất kì trên hình (H), ta đều xác định được ảnh của các điểm đó qua Đ_I trên hình (H).

Vì vậy I là tâm đối xứng của hình (H).

Với mỗi điểm M bất kì sao cho \(M{\rm{ }} \ne {\rm{ }}I\), ta luôn có \(MO{\rm{ }} \ne {\rm{ }}MO'.\)

Do đó O’ không phải là ảnh của O qua \({Đ_M}.\)

Vậy hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có 1 tâm đối xứng duy nhất là trung điểm của đoạn nối tâm.

Do đó ta chọn phương án B.