Giải bài 6 trang 41 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1). Hỏi các điểm sau điểm nào là ảnh của M qua phép quay tâm O với góc quay 45°?

A. \(M'\left( {1;{\rm{ }}1} \right).\)

B. \(M'\left( {1;{\rm{ }}0} \right).\)

C. \(M'\left( {\sqrt 2 ;0} \right)\)

D. \(M'\left( {0;\sqrt 2 } \right)\)

Lời giải chi tiết

Đáp án đúng là: D

 

Ta có \(\overrightarrow {OM}  = \left( {1;1} \right)\). Suy ra \(OM = \sqrt 2 \)

Vẽ đường tròn (C) tâm O, bán kính OM.

Ta có \({Q_{(O,{\rm{ }}45^\circ )}}\) biến điểm M khác O thành điểm M’ sao cho \(OM' = OM = \sqrt 2 \) và \(\left( {OM',{\rm{ }}OM} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}45^\circ \;\) hay \(\widehat {MOM'} = 45^\circ \)

Kẻ \(MH \bot Ox\)  tại H.

\(\Delta \) OMH vuông tại H: \(\cos \widehat {MOH} = \frac{{OH}}{{OM}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Suy ra \(\widehat {MOH} = 45^\circ \)

Ta có \(\widehat {HOM'} = \widehat {HOM} + \widehat {MOM'} = 45^\circ  + 45^\circ  = 90^\circ \)

Suy ra \(M' \in Oy\) nên \({x_{M'}}\; = {\rm{ }}0.\)

Mà \(OM' = \sqrt 2 \) (chứng minh trên) nên \({y_{M'}} = \sqrt 2 \)

Vậy tọa độ \(M'\left( {0;\sqrt 2 } \right)\)

Do đó ta chọn phương án D.