Giải bài 5 trang 159 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Kết quả kiểm tra cân nặng của một số quả trứng chim cút được lựa chọn ngẫu nhiên ở hai trang trại chăn nuôi A và B được biểu diễn ở biểu đồ sau (đơn vị: g).

a) Hãy so sánh cân nặng của trứng chim cút của hai trang trại A và B theo số trung bình và trung vị.

b) Hãy ước lượng tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba của cân nặng trứng chim cút của trang trại A.

Lời giải chi tiết

a) Từ biểu đồ đã cho, ta có bảng số liệu ghép nhóm (bao gồm cả giá trị đại diện):

Đối với trang trại A: Cỡ mẫu: \({n_A} = 89\)

Cân nặng trung bình của mỗi quả trứng là: \(\overline {{x_A}}  = \frac{{8,3.7 + 8,5.18 + 8,7.34 + 8,9.21 + 9,1.9}}{{89}} = \frac{{7\;757}}{{890}}\)

Gọi \({x_1},{x_2},...,{x_{89}}\) là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({x_1},...,{x_7} \in \left[ {8,2;8,4} \right),{x_8},...,{x_{25}} \in \left[ {8,4;8,6} \right),{x_{26}},...,{x_{59}} \in \left[ {8,6;8,8} \right),\)\({x_{60}},...,{x_{80}} \in \left[ {8,8;9,0} \right),{x_{81}},...,{x_{89}} \in \left[ {9,0;9,2} \right)\)

Do cỡ mẫu \({n_A} = 89\) nên trung vị \({M_e}\left( A \right) = {x_{45}} \in \left[ {8,6;8,8} \right)\) nên trung vị của mẫu số liệu là: \({M_e}\left( A \right) = 8,6 + \frac{{\frac{{89}}{2} - \left( {7 + 18} \right)}}{{34}}.\left( {8,8 - 8,6} \right) = \frac{{2\;963}}{{340}}\) (g)

Đối với trang trại B: Cỡ mẫu: \({n_B} = 73\)

Cân nặng trung bình của mỗi quả trứng là:

\(\overline {{x_B}}  = \frac{{8,3.15 + 8,5.37 + 8,7.12 + 8,9.7 + 9,1.2}}{{73}} = \frac{{6\;239}}{{730}}\) (g)

Gọi \({x_1},{x_2},...,{x_{73}}\) là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({x_1},...,{x_{15}} \in \left[ {8,2;8,4} \right),{x_{16}},...,{x_{52}} \in \left[ {8,4;8,6} \right),{x_{53}},...,{x_{64}} \in \left[ {8,6;8,8} \right),\) \({x_{65}},...,{x_{71}} \in \left[ {8,8;9,0} \right),{x_{72}},{x_{73}} \in \left[ {9,0;9,2} \right)\)

Do cỡ mẫu \({n_B} = 73\) nên trung vị \({M_e}\left( B \right) = {x_{37}} \in \left[ {8,4;8,6} \right)\) nên trung vị của mẫu số liệu là: \({M_e}\left( B \right) = 8,4 + \frac{{\frac{{73}}{2} - 15}}{{37}}.\left( {8,6 - 8,4} \right) = \frac{{3\;151}}{{370}}\) (g)

Vì \(\overline {{x_A}}  > \overline {{x_B}} ,{M_e}\left( A \right) > {M_e}\left( B \right)\) nên so sánh theo số trung bình hay trung vị thì cân nặng của trứng chim cút của trang trại A đều hơn cân nặng của trứng chim cút của trang trại B

b) Đối với trang trại A:

Do cỡ mẫu \({n_A} = 89\) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{22}} + {x_{23}}} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {8,4;8,6} \right)\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({Q_1}\left( A \right) = 8,4 + \frac{{\frac{{89}}{4} - 7}}{{18}}.\left( {8,6 - 8,4} \right) = \frac{{617}}{{72}}\)

Do cỡ mẫu \({n_A} = 89\) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{67}} + {x_{68}}} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {8,8;9,0} \right)\).

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({Q_3}\left( A \right) = 8,8 + \frac{{\frac{{3.89}}{4} - \left( {7 + 18 + 34} \right)}}{{21}}.\left( {9,0 - 8,8} \right) = \frac{{3\;727}}{{420}}\)