Giải bài 4.57 trang 69 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3a

Quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) đều có độ dài cạnh bằng \(3a\). Lấy điểm \(M\) thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(MB = 2MC.\) Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MC} \) bằng

A. \(\frac{{{a^2}}}{2}\)

B. \( - \frac{{{a^2}}}{2}\)

C. \({a^2}\)

D. \( - {a^2}\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BA}  =  - \overrightarrow {AB}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \)

\(\overrightarrow {MC}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {CB}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)

Ta có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  = \left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\)

\(\begin{array}{l} =  - \frac{1}{9}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{2}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ =  - \frac{1}{9}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{2}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{1}{9}.AB.AC.\cos \widehat {BAC}\\ =  - \frac{1}{9}.9{a^2} + \frac{2}{9}.9{a^2} - \frac{1}{9}.9{a^2}.\cos {60^ \circ }\\ =  - {a^2} + 2{a^2} - {a^2}.\frac{1}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}\end{array}\)

Chọn A.

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close