Giải bài 4.29 trang 65 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 1.

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 10 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa...

Quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác đều \(ABC\) có độ dài cạnh bằng 1.

a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Tính tích vô hướng của các cặp vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {BA} ,\) \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {AC} .\)

b) Gọi \(N\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(C.\) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN} \)

c) Lấy điểm \(P\) thuộc đoạn \(AN\) sao cho \(AP = 3PN.\) Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AP} ,\,\,\overrightarrow {MP} \) thuộc hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} .\) Tính độ dài đoạn \(MP.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tính đường cao \(AM,\) tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {BA} \), \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {AC} .\)

- Tính độ dài \(MN\) xong áp dụng định lý Pi-ta-go để tính độ dài cạnh \(AN\)

- Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AN} \)

- Chứng minh \(\overrightarrow {AP} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AN} \)và \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AM} \) xong dùng phương pháp biến đổi

- Áp dụng định lý hàm cosin để tính cạnh \(MP\)

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\Delta ABC\) đều cạnh bằng 1 có: \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\)

\( \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{\left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {BA} } \right) = {{30}^ \circ }}\\{\left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {{150}^ \circ }}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BA} = \left| {\overrightarrow {MA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\cos {30^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{3}{4}\)

\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {MA} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\cos {150^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{{ - 3}}{4}\)

b) Ta có: \(MN = CM + CN = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}\)

Ta có: \(\widehat {MAN} = {60^ \circ }\)

Xét \(\Delta AMN\) vuông tại \(M\) có:

\(AN = \sqrt {A{M^2} + M{N^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} = \sqrt 3 \)

Ta có: \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN} = \left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\overrightarrow {AN} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AN} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3 .\cos {60^ \circ } = \frac{3}{2}.\frac{1}{2} = \frac{3}{4}\)

c) Ta có: \(P\) thuộc đoạn \(AN\) sao cho \(AP = 3PN.\)

Nên \(\overrightarrow {AP} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AN} = \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} } \right) = \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{3}{4}\left( {2\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AM} = \frac{3}{4}\left( {2\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) - \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AC} - \frac{5}{4}\overrightarrow {AB} \)

Ta có: \(AP = \frac{3}{4}AN = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\)

\( \Rightarrow \) \(MP = \sqrt {A{P^2} + A{M^2} - 2AP.AM.\cos \widehat {MAP}} = \frac{{\sqrt {21} }}{4}\)