Giải bài 4.30 trang 65 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sốnga) Chứng minh rằng các đường thẳng AC và BM vuông góc với nhau. Quảng cáo
Đề bài Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 1,\,\,BC = \sqrt 2 .\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD.\) a) Chứng minh rằng các đường thẳng \(AC\) và \(BM\) vuông góc với nhau. b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AC,\,\,BM.\) Gọi \(N\) là trung điểm của \(AH\) và \(P\) là trung điểm của \(CD.\) Chứng minh rằng tam giác \(NBP\) là một tam giác vuông. Phương pháp giải - Xem chi tiết - Tính các vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BM} \) xong tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM} \) - Tính độ dài các cạnh \(AC,\,\,AH\) - Tính các vectơ \(\overrightarrow {NB} \) và \(\overrightarrow {NP} \) xong tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NP} \) Lời giải chi tiết a) Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \) (quy tắc hình bình hành) Ta có: \(\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)\) \(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \\ = - {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} = - 1 + \frac{1}{2}\left( {\sqrt 2 } \right) - 1 + 1 = 0\end{array}\) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BM} \) \( \Rightarrow \) \(AC \bot BM\) b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {1 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 3 \) (1) Xét \(\Delta ABN\) vuông tại \(A\) có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông) \( \Rightarrow \,\,\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} = 1 + 2 = 3\) \( \Rightarrow \,\,AH = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) (2) Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(AH = \frac{1}{3}AC\) Ta có: \(\overrightarrow {NB} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} = \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} \) Ta có: \(\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {CP} - \overrightarrow {CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} - \frac{5}{6}\overrightarrow {CA} = \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \frac{5}{6}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NP} = \left( {\frac{5}{6}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{5}{6}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right)\) \(\begin{array}{l} = \frac{{25}}{{36}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \frac{5}{{18}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{5}{{36}}{\overrightarrow {AD} ^2} - \frac{1}{{18}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \\ = \frac{5}{{18}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{5}{{36}}{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{5}{{18}}.1 - \frac{5}{{36}}.\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{5}{{18}} - \frac{5}{{18}} = 0\end{array}\) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {NB} \bot \overrightarrow {NP} \) \( \Rightarrow \) \(NB \bot NP\) \( \Rightarrow \) \(\Delta NBP\) vuông tại \(N\).
Quảng cáo
|