Giải bài 4.19 trang 54 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Cho tam giác ABC

Quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác \(ABC.\)

a)      Tìm điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)

b)     Xác định điểm \(N\) thỏa mãn \(4\overrightarrow {NA}  - 2\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \)

Lời giải chi tiết

a)      Giả sử tìm được điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) và \(J\) là trung điểm của cạnh \(CI\).

Ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \;\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB}  + 2\overrightarrow {MC}  = 2\overrightarrow {MI}  + 2\overrightarrow {MC}  = 4\overrightarrow {MJ} \)

Mặt khác \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \) \(4\overrightarrow {MJ}  = \overrightarrow 0 \,\, \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MJ}  = \overrightarrow 0 \,\, \Rightarrow \,\,M \equiv J\)

Vậy \(M\) là trung điểm của \(CI\).

b)     Giả sử tìm được điểm \(N\) thỏa mãn \(4\overrightarrow {NA}  - 2\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \)

Gọi \(K\) là trung điểm của \(AC\).

Ta có: \(4\overrightarrow {NA}  - 2\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = 2\left( {\overrightarrow {NA}  - \overrightarrow {NB} } \right) + \left( {\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NC} } \right) + \overrightarrow {NA} \)

                                                     \(\begin{array}{l} = 2\overrightarrow {BA}  + \left( {\overrightarrow {NK}  + \overrightarrow {KB}  + \overrightarrow {NK}  + \overrightarrow {KC} } \right) + \overrightarrow {NA} \\ = 2\overrightarrow {BA}  + 2\overrightarrow {NK}  + \overrightarrow {NA} \end{array}\)

Gọi \(M\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {MK}  + \overrightarrow {MA}  = 0\)

Khi đó: \(2\overrightarrow {NK}  + \overrightarrow {NA}  = 2\left( {\overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {MK} } \right) + \overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {MA}  = 3\overrightarrow {NM} \)

Do đó \(4\overrightarrow {NA}  - 2\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = 2\overrightarrow {BA}  + 3\overrightarrow {NM} \)

Mặt khác \(4\overrightarrow {NA}  - 2\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \) \(2\overrightarrow {BA}  + 3\overrightarrow {NM}  = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {NM}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \)    (1)

Lấy điểm \(P\) thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(\overrightarrow {AP}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \)    (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {NM}  = \overrightarrow {AP} \)

\( \Rightarrow \) tứ giác \(APMN\) là hình bình hành

Vậy điểm \(N\) cần tìm là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(APMN\).

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close