Giải bài 41 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(A'C'\).

a)    Chứng minh rằng \(A'B\parallel \left( {B'CM} \right)\).

b)    Xác định giao tuyến \(d\) của hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A'BC'} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(N\) là trung điểm cạnh \(BC'\). Do \(M\) là trung điểm cạnh \(A'C'\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(A'BC'\). Suy ra \(A'B\parallel MN\).

Do \(MN \subset \left( {B'MC} \right)\), nên \(A'B\parallel \left( {B'MC} \right)\). Bài toán được chứng minh.

b) Ta có \(AC\parallel A'C'\), \(A'C' \subset \left( {A'BC'} \right)\), \(AC \subset \left( {ABC} \right)\) nên giao tuyến của hai mặt phẳng này (nếu có) là một đường thẳng song song hoặc trùng với \(AC\).

Mặt khác, do \(B \in \left( {ABC} \right) \cap \left( {A'BC'} \right)\), nên ta kết luận rằng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A'BC'} \right)\) có giao tuyến là đường thẳng \(d\) đi qua \(B\) và song song với \(AC\) (trên hình vẽ).