Giải bài 4 trang 21 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Một giếng dầu ngoài khơi được đặt ở vị trí $A$ cách bờ biển 3 km, $B$ là vị trí trên bờ biển gần giếng dầu nhất. Nhà máy lọc dầu được đặt ở vị trí $C$ trên bờ biển, cách vị trí $B$ một khoảng 4 km (Hình 9). Người ta dự định lắp đặt đường ống dẫn dầu gồm hai đoạn thẳng $AD$ và $DC$ ($D$ là một vị trí nằm giữa $B$ và $C$). Biết rằng mỗi mét đường ống đặt dưới biển có chi phí lắp đặt cao gấp đôi so với mỗi mét đường ống đặt trên bờ. Vị trí của $D$ như thế nào để giảm thiểu chi phí lắp đặt nhất?

Lời giải chi tiết

Đặt $BD = x\left( {km} \right)\left( {0 \le x \le 4} \right)$.

Gọi $a$ là chi phí lắp đặt cho mỗi kilômét đường ống đặt trên bờ.

Khi đó $2a$ là chi phí lắp đặt cho mỗi kilômét đường ống đặt dưới biển.

Ta có: $C{\rm{D}} = BC - B{\rm{D}} = 4 - x,A{\rm{D}} = \sqrt {A{B^2} + B{{\rm{D}}^2}}  = \sqrt {{x^2} + 9}$.

Chi phí lắp đặt đường ống là: $2{\rm{a}}\sqrt {{x^2} + 9}  + a\left( {4 - x} \right) = a\left( {2\sqrt {{x^2} + 9}  + 4 - x} \right)$.

Xét hàm số $f\left( x \right) = 2\sqrt {{x^2} + 9}  + 4 - x$ trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$.

Ta có: $f'\left( x \right) = 2.\frac{{{{\left( {{x^2} + 9} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} + 9} }} - 1 = \frac{{2{\rm{x}}}}{{\sqrt {{x^2} + 9} }} - 1$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{\rm{x}}}}{{\sqrt {{x^2} + 9} }} - 1 = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{\rm{x}}}}{{\sqrt {{x^2} + 9} }} = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 9}  = 2{\rm{x}} \Leftrightarrow {x^2} + 9 = 4{{\rm{x}}^2} \Leftrightarrow {{\rm{x}}^2} = 3 \Leftrightarrow x = \sqrt 3$ hoặc $x =  - \sqrt 3$ (loại).

$f\left( 0 \right) = 10;f\left( {\sqrt 3 } \right) = 4 + 3\sqrt 3 ;f\left( 4 \right) = 10$.

Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\sqrt 3 } \right) = 4 + 3\sqrt 3$.

Vậy chi phí lắp đặt thấp nhất khi $x = \sqrt 3  \approx 1,7\left( {km} \right)$.