Bài 33 trang 94 Vở bài tập toán 8 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có các cạnh \(AB = 24 cm,\) \( AC = 28 cm\). Tia phân giác của góc \(A\) cắt cạnh \(BC\) tại \(D\). Gọi \(M, N\) theo thứ tự là hình chiếu của \(B\) và \(C\) trên đường thẳng \(AD\).

a)Tính tỉ số \(\displaystyle {{BM} \over {CN}}\).

b)Chứng minh rằng \(\displaystyle  {{AM} \over {AN}} = {{DM} \over {DN}}\) .

Lời giải chi tiết

Xét hai tam giác \(ABM\) và \(ACN\).

\(\widehat {BAM} = \widehat {CAN}\) (vì \(AD\) là phân giác của \(\widehat A\))

\(\widehat {BMA} = \widehat {CNA}\) (vì cùng bằng \({90^0}\))

Vậy \(\Delta ABM \backsim \Delta ACN\).

\(\dfrac{{BM}}{{CN}} = \dfrac{{AM}}{{AN}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) \( \Rightarrow \dfrac{{BM}}{{CN}} = \dfrac{{24}}{{28}} = \dfrac{6}{7}\).

b) Theo chứng minh ở câu a), ta có:

\(\dfrac{{AM}}{{AN}} = \dfrac{{BM}}{{CN}}\) (1)

Xét hai tam giác \(BDM\) và \(CDN\):

\(\widehat {BMD} = \widehat {CND}\) (vì cùng bằng \({90^0}\))

\(\widehat {BDM} = \widehat {CDN}\) (hai góc đối đỉnh)

Vậy: \(\Delta BDM \backsim \Delta CDN\) (trường hợp g.g)

Suy ra \(\dfrac{{BM}}{{CN}} = \dfrac{{DM}}{{DN}}\) (2)

Từ các tỉ lệ thức (1) và (2), suy ra \(\dfrac{{AM}}{{AN}} = \dfrac{{DM}}{{DN}}\) (đpcm).

Loigiaihay.com