Giải bài 3.13 trang 39 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

Quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác \(ABC.\) Chứng minh rằng:

a)      \(\cot A + \cot B + \cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}.\)

b)     \(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right).\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) sử dụng định lý sin và công thức tính diện tích tam giác.

b) sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác.

Lời giải chi tiết

a) \(\cot A + \cot B + \cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}.\)

\(\begin{array}{l}VT = \frac{{\cos A}}{{\sin A}} + \frac{{\cos B}}{{\sin B}} + \frac{{\cos C}}{{\sin C}} = \frac{{\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}}{{\frac{{2S}}{{bc}}}} + \frac{{\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}}}{{\frac{{2S}}{{ac}}}} + \frac{{\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}}}{{\frac{{2S}}{{ab}}}}\\ = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4S}} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}}\\ = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}} = VP\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

b) \(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right).\)

\(\begin{array}{l}VT = \left( {\frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}} \right) + \left( {\frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}} \right) + \left( {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4}} \right)\\ = \frac{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{2} - \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4}\\ = \frac{3}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = VP\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close