Giải Bài 29 trang 19 sách bài tập toán 7 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

a) Rút gọn biểu thức: \(A = 1 + 2 + {2^1} + {2^2} + ... + {2^{25}}\).

b) Một công ty phát triển kĩ thuật số có một thông báo hấp dẫn: Cần thuê một nhóm kĩ thuật viên hoàn thành một dự án trong vòng 26 ngày, công việc rất khó khăn nhưng tiền công cho dự án rất thú vị. Nhóm kĩ thuật viên được nhận làm dự án sẽ lựa chọn một trong hai phương án trả tiền công như sau:

-        Phương án 1: Nhận một lần và nhận tiền công trước với mức tiền 50 triệu đồng.

-        Phương án 2: Ngày đầu nhận 1 đồng, ngày sau nhận gấp đôi ngày trước đó.

Theo em, phương án nào nhận được nhiều tiền công hơn? Vì sao?

Lời giải chi tiết

a) \(A = 1 + 2 + {2^1} + {2^2} + ... + {2^{25}}\)

Suy ra: \(2A = 2.(1 + 2 + {2^1} + {2^2} + ... + {2^{25}}) = 2 + {2^1} + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{26}}\).

Ta có:

     \(\begin{array}{l}2A - A = 2 + {2^1} + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{26}} - (1 + 2 + {2^1} + {2^2} + ... + {2^{25}})\\{\rm{         }}A = 2 + {2^1} + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{26}} - 1 - 2 - {2^1} - {2^2} - ... - {2^{25}}\\{\rm{        }}A = {2^{26}} - 1\end{array}\)

Vậy \(A = {2^{26}} - 1\).

b)

Với phương án 1: nhóm kĩ thuật viên sẽ nhận được tiền công là 50 triệu đồng.

Với phương án 2: nhóm kĩ thuật viên sẽ nhận được tiền công ngày sau gấp đôi ngày trước đó.

-        Ngày thứ 1, nhóm kĩ thuật viên sẽ nhận được tiền công là 1 đồng.

-        Ngày thứ 2, nhóm kĩ thuật viên nhận được tiền công gấp đôi ngày thứ 1 và nhận được: \(1.2 = 2\) đồng.

-        Ngày thứ 3, nhóm kĩ thuật viên nhận được tiền công gấp đôi ngày thứ 2 và nhận được: \(2.2 = {2^2}\) đồng.

-        Ngày thứ 4, nhóm kĩ thuật viên nhận được tiền công gấp đôi ngày thứ 3 và nhận được: \({2^2}.2 = {2^3}\) đồng.

....

-        Ngày thứ 26, nhóm kĩ thuật viên nhận được số tiền công là: \({2^{25}}\) đồng.

Vậy sau 26 ngày, số tiền công mà nhóm kĩ thuật viên đó nhận được là:

\(1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{25}}\) (đồng)

Theo phần a) ta có: \(A = 1 + 2 + {2^1} + {2^2} + ... + {2^{25}}\)=\({2^{26}} - 1\).

Vậy theo phương án 2, số tiền công mà nhóm kĩ thuật viên nhận được là:

\({2^{26}} - 1 = 67{\rm{ 108 863}}\)(đồng)

Ta thấy: 50 000 000 < 67 108 863 nên phương án 2 nhận được nhiều tiền công hơn.