Giải bài 25 trang 18 sách bài tập toán 8 - Cánh diều

Chứng minh biểu thức \(B = {x^5} - 15{x^2} - x + 5\) chia hết cho 5 với mọi số nguyên \(x\)

Quảng cáo

Đề bài

Chứng minh biểu thức \(B = {x^5} - 15{x^2} - x + 5\) chia hết cho 5 với mọi số nguyên \(x\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm số hạng và đặt nhân tử chung

Lời giải chi tiết

Trước hết, ta chứng minh \({x^5} - x \vdots 5\)

Ta có: \({x^5} - x = x\left( {{x^4} - 1} \right) = x\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\)

Nếu \(x = 5k\) thì \(x \vdots 5\)

Khi đó \(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\) hay \({x^5} - x \vdots 5\)

Nếu \(x = 5k + 1\) thì \(x - 1 = 5k \vdots 5\)

Khi đó \(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\) hay \({x^2} - x \vdots 5\)

Nếu \(x = 5k + 2\) thì \({x^2} + 1 = {\left( {5k + 2} \right)^2} + 1 = 25{k^2} + 20k + 5 \vdots 5\)

Khi đó \(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\) hay \({x^2} - x \vdots 5\)

Nếu \(x = 5k + 3\) thì \({x^2} + 1 = {\left( {5k + 3} \right)^2} + 1 = 25{k^2} + 30k + 10 \vdots 5\)

Khi đó \(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\) hay \({x^2} - x \vdots 5\)

Nếu \(x = 5k + 4\) thì \(x + 1 = 5k + 5 \vdots 5\)

Khi đó \(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\) hay \({x^2} - x \vdots 5\)

Do đó \({x^5} - x \vdots 5\) với mọi số nguyên \(x\)

Ta có: \({x^5} - x \vdots 5;15{x^2} \vdots 5;5 \vdots 5\) nên \({x^5} - 15{x^2} - x + 5 \vdots 5\) với mọi số nguyên\(x\).

Vậy \(B\) chia hết cho 5 với mọi số nguyên \(x\).

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close