Giải bài 25 trang 15 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1 000 con vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức: \(N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}}\) trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây \(\left( {t \ge 0} \right)\) (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Trong khoảng thời gian nào từ lúc nuôi cấy, số lượng vi khuẩn sẽ tăng lên?

Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau: a) (y = x.{e^x}); b) (y = {left( {x + 1} right)^2}.{e^{ - x}}); c) (y = {x^2}.ln {rm{x}}); d) (y = frac{x}{{ln {rm{x}}}}).

Chứng minh rằng: a) Hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 4} \) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\). b) Hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). c) Hàm số \(y = {2^{ - {x^2} + 2x}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Dùng đạo hàm của hàm số, hãy giải thích: a) Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(a > 1\), nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(0 < a < 1\). b) Hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi \(a > 1\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi \(0 < a < 1\).

Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau: a) \(y = {x^3} - 12{\rm{x}} + 8\); b) \(y = 2{{\rm{x}}^4} - 4{{\rm{x}}^2} - 1\); c) \(y = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} - 2}}{{x + 1}}\); d) \(y = - x + 1 - \frac{9}{{x - 2}}\)