Giải bài 23 trang 14 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau:

a) \(y = x.{e^x}\);                                           b) \(y = {\left( {x + 1} \right)^2}.{e^{ - x}}\);

c) \(y = {x^2}.\ln {\rm{x}}\);                         d) \(y = \frac{x}{{\ln {\rm{x}}}}\).

Lời giải chi tiết

a) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có:

\({y^\prime } = {\left( {x.{e^x}} \right)^\prime } = {\left( x \right)^\prime }.{e^x} + x.{\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x} + x{e^x} = {e^x}\left( {1 + x} \right)\)

\(y' = 0\) khi \(x =  - 1\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 1\), hàm số không có cực đại.

b) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{y^\prime } = {\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2}.{e^{ - x}}} \right)^\prime } = {\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right)^\prime }.{e^{ - x}} + {\left( {x + 1} \right)^2}.{\left( {{e^{ - x}}} \right)^\prime }\\ &  = 2\left( {x + 1} \right){e^{ - x}} - {\left( {x + 1} \right)^2}.{e^{ - x}} = \left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right){e^{ - x}}\end{array}\)

\(y' = 0\) khi \(x =  - 1\) hoặc \(x = 1\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 1\) và đạt cực đại tại \(x = 1\).

c) Hàm số có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có:

\({y^\prime } = {\left( {{x^2}.\ln {\rm{x}}} \right)^\prime } = {\left( {{x^2}} \right)^\prime }.\ln x + {x^2}.{\left( {\ln {\rm{x}}} \right)^\prime } = 2{\rm{x}}\ln {\rm{x}} + {x^2}.\frac{1}{x} = x\left( {2\ln {\rm{x}} + 1} \right)\)

\(y' = 0\) khi \(\ln {\rm{x}} =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = {e^{ - \frac{1}{2}}}\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = {e^{ - \frac{1}{2}}}\), hàm số không có cực đại.

d) Hàm số có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có:

\({y^\prime } = {\left( {\frac{x}{{\ln {\rm{x}}}}} \right)^\prime } = \frac{{{x^\prime }.\ln x - x.{{\left( {\ln {\rm{x}}} \right)}^\prime }}}{{{{\ln }^2}x}} = \frac{{\ln {\rm{x}} - x.\frac{1}{x}}}{{{{\ln }^2}x}} = \frac{{\ln {\rm{x}} - 1}}{{{{\ln }^2}x}}\)

\(y' = 0\) khi \(\ln {\rm{x}} = 1 \Leftrightarrow x = e\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = e\), hàm số không có cực đại.