Giải bài 22 trang 14 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Chứng minh rằng: a) Hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 4} \) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\). b) Hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). c) Hàm số \(y = {2^{ - {x^2} + 2x}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) Hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 4} \) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).

b) Hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

c) Hàm số \(y = {2^{ - {x^2} + 2x}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Các bước để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \(f\left( x \right)\):

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\).

Bước 2. Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\). Tìm các điểm \({x_i}\left( {i = 1,2,...,n} \right)\) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 3. Sắp xếp các điểm \({x_i}\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Hàm số có tập xác định là \(\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).

Ta có: \({y^\prime } = \frac{{{{\left( {{x^2} - 4} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} - 4} }} = \frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} - 4} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\)

Với \(x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} < 0 \Leftrightarrow y' < 0\). Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).

Với \(x \in \left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} > 0 \Leftrightarrow y' > 0\). Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).

b) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có:

\({y^\prime } = \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{2{\rm{x}}}}{{{x^2} + 1}}\)

\(y' = 0\) khi \(x = 0\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

c) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có:

\({y^\prime } = {\left( { - {x^2} + 2{\rm{x}}} \right)^\prime }{.2^{ - {x^2} + 2{\rm{x}}}}.\ln 2 = \left( { - 2{\rm{x}} + 2} \right){.2^{ - {x^2} + 2{\rm{x}}}}.\ln 2\)

\(y' = 0\) khi \(x = 1\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

  • Giải bài 23 trang 14 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau: a) (y = x.{e^x}); b) (y = {left( {x + 1} right)^2}.{e^{ - x}}); c) (y = {x^2}.ln {rm{x}}); d) (y = frac{x}{{ln {rm{x}}}}).

  • Giải bài 24 trang 14 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1 000 con vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức: \(N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}}\) trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây \(\left( {t \ge 0} \right)\) (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Trong khoảng thời gian nào từ lúc nuôi cấy, số lượng vi khuẩn sẽ tăng lên?

  • Giải bài 25 trang 15 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Trong 5 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình \(s\left( t \right) = {t^3} - 6{t^2} + 14t + 1\) trong đó \(t\) tính bằng giây và \(s\) tính bằng mét. Trong khoảng thời gian nào của 5 giây đầu tiên thì vận tốc tức thời của chất điểm tăng lên?

  • Giải bài 21 trang 14 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Dùng đạo hàm của hàm số, hãy giải thích: a) Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(a > 1\), nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(0 < a < 1\). b) Hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi \(a > 1\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi \(0 < a < 1\).

  • Giải bài 20 trang 14 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau: a) \(y = {x^3} - 12{\rm{x}} + 8\); b) \(y = 2{{\rm{x}}^4} - 4{{\rm{x}}^2} - 1\); c) \(y = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} - 2}}{{x + 1}}\); d) \(y = - x + 1 - \frac{9}{{x - 2}}\)

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

close